水平井、大位移井能够有效提高油气采收率，因而被广泛应用于陆地及海上油气开采。但在钻进大斜度井段和水平段时，岩屑容易堆积形成岩屑床，尤其是在接单根或者检修设备等长时间停泵的工况下，岩屑受重力作用大量沉积在大斜度井段，容易发生岩屑床整体下滑而掩埋井眼，造成沉砂卡钻等井下故障。因此，有必要研究大斜度井段岩屑床形成后井眼内的静态平衡条件，即岩屑床的休止角。认识岩屑床休止角有助于预测沉砂卡钻位置，然后采取有效措施提高携岩效率。

目前，关于固体颗粒休止角的研究以试验为主^[1–8]，理论研究不够系统^[9–10]。根据已有研究结果可知，天然砂、石块、煤屑等粒径较大散体颗粒的休止角随粒径增大而增大^[11–12]，煤粉、硅砂、纯碱和石灰石等粒径较小颗粒休止角的变化正好相反，粒径越小，它们的休止角越大^[13–15]。固体颗粒休止角的研究成果已广泛应用于泥沙运动学、地质安全等领域，并且在这些领域通过试验手段得到了一些具有应用价值的经验公式。相比其他领域，钻井工程中的岩屑床休止角问题有一定的特殊性，例如，由于钻井液中添加了膨润土及地层中存在一定量的黏性介质，使岩屑颗粒在大斜度井段沉积后并不像散体颗粒，而是更接近于堆积的黏性颗粒。但是，关于钻井工程中岩屑休止角的问题，截至目前尚缺乏全面、系统的研究。为此，笔者视岩屑颗粒为黏性体，考虑岩屑堆积后的黏结力，建立了岩屑床休止角预测模型，通过试验修正了该模型中的相关经验系数，以期得到较为准确的水平井、大位移井岩屑床休止角，为选用井眼清洁工具提供理论依据，为快速确定井底卡钻位置提供帮助。

1.   岩屑床休止角预测模型的建立

对于颗粒休止角的定义，当前主要有2种观点^[16]：一种观点认为，当颗粒由运动状态转变为静止状态时，其稳定堆积所形成的斜面与水平面间的夹角为休止角；另一种观点认为，颗粒在坡面上将要滑动或者开始滑动时，坡面与水平面的夹角为休止角。基于岩屑在大斜度井段沉积的实际情况，笔者认为第二种观点更正确，即在大斜度井段钻进时，沿井眼轴线方向，颗粒所受摩擦力与重力的分力相等时，岩屑所在井段与水平方向的夹角称为岩屑床休止角，与岩屑床休止角互余的井斜角为休止井斜角。

1.1   颗粒在岩屑床面滑动失衡时的受力模型

岩屑颗粒在平均岩屑床面主要受范德华力、静电力、内摩擦力、黏结力和浮重等作用力。但是：1）岩屑颗粒粒径相对较大；2）当前对于颗粒堆积状态下颗粒间相互作用力的研究尚不完善；3）相比岩屑浮重对颗粒的作用，静电力等粒间作用力对岩屑的作用较小。考虑到以上因素，忽略范德华力、静电力等粒间作用力。在此基础上，分析岩屑颗粒在平均岩屑床面下滑时的力学平衡问题，结果见图1（图1中：F_f为粒子所受摩擦力，N；F_A为颗粒的浮重，N；F_B为黏结力，N；$\varphi$为岩屑床休止角，（°）；α为休止井斜角，（°））。

图  1  颗粒在岩屑床面滑动失衡时的受力示意

Figure  1.  Force schematic of the particles on cuttings bed during sliding

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颗粒的浮重可表示为：

式中：${\rho _{\rm{s}}}$为岩屑颗粒密度，kg/m³；$\rho$为钻井液密度，kg/m³；g为重力加速度，m/s²；d_s为岩屑颗粒直径，m。

颗粒受到的平均岩屑床面的黏结力采用文献[17]中的公式计算，对其进行适当简化，可表示为：

式中：${\zeta _{\rm{c}}}$为岩屑稳定干容重的黏结力系数，取经验值4.654×10^–5 N/m³；$\gamma '$为岩屑干容重，N/m³；${\gamma '_{\rm{c}}}$为岩屑稳定干容重，N/m³；$m'$为无量纲常数，取经验值10。

根据图1可以得到颗粒在x方向的力学平衡方程：

对式（3）进行整理，可得：

式中：f为平均岩屑床面摩擦系数。

式（4）中f为未知数，需要求解。基于楔入堆积模式^[18]，只考虑两层岩屑颗粒，取宽度为d_s+2δ、长度为n（d_s+2δ）的岩屑脱离体进行分析（脱离体主要受浮重、黏结力和侧向压力），其受力情况如图2所示（图2中：n为位于第一层单位宽度内的粒子数；δ为颗粒表面液膜厚度，一般取0.001～0.010 mm；F_e为脱离体所有粒子的总侧向压力，N）。

图  2  楔入模型受力示意

Figure  2.  Force schematic of the wedging model

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对脱离体所有粒子在水平方向进行受力分析，则粒子所受摩擦力为：

总侧向压力为：

式中：${\gamma _{\rm{e}}}$为岩屑的湿容重，N/m³。

当颗粒处在临界状态时受力达到平衡，${F_{\rm{f}}} - {F_{\rm{e}}} = 0$。因此有：

此时，n为未知数，由图2（a）中的几何关系可得：

由式（3）可得：

此时，式（4）可变为：

式（2）和式（6）中的$\gamma '$和${\gamma _{\rm{e}}}$依然未知。为此，根据土力学关系，设想在单位体积浑浊钻井液中，岩屑沉积后分为纯钻井液、有空隙的稳定岩屑和无空隙的密实岩屑，如图3所示（图3中：W_s为最下层沉积后无孔隙的密实岩屑重量，N；V_s为最下层沉积后无孔隙的密实岩屑体积，m³；W为最上层纯钻井液的重量，N；V为最上层纯钻井液的体积，m³；W₁为中间部分自然沉积后岩屑空隙中钻井液的重量，N；V₁为中间部分自然沉积后岩屑空隙中钻井液的体积，m³）。

图  3  岩屑沉积后的情况示意

Figure  3.  Schematic of cuttings after deposition

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浑浊钻井液容重可表示为浑浊钻井液重量与浑浊钻井液体积之比，即：

式中：${\gamma _{\rm{m}}}$为浑浊钻井液容重，N/m³。

岩屑的湿容重${\gamma _{\rm{e}}}$为：

岩屑的干容重$\gamma '$为：

停钻后，岩屑开始沉降。当岩屑在大斜度井段的浓度达到最大时，即最上层液体的体积趋近于0，最上层纯钻井液的重量也趋近于0，此时${\gamma _{\rm{m}}} = {\gamma _{\rm{e}}}$。则有：

而干容重的计算式为^[19–20]：

式中：d₀为参考粒径，取1.0 mm。

综上所述，岩屑颗粒滑动时的休止角$\varphi$可求。

1.2   颗粒在岩屑床面滚动失衡时的受力模型

颗粒在平均岩屑床面向下滚动时的受力如图4所示（图4中：L_D为动力对应的动力臂，m；L_Z为阻力所对应的阻力臂，m；ϕ为颗粒堆积夹角，（°））。

图  4  颗粒在平均岩屑床面滚动失衡时的受力示意

Figure  4.  Force schematic of the particles on average cuttings bed during rolling

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根据图4，颗粒在x方向向下滚动时的力学平衡方程为：

由此可得岩屑颗粒滑动时休止角的计算式为：

2.   岩屑床休止角测量试验与经验系数修正

2.1   测量装置及材料

颗粒休止角的测量方法有很多种，主要有堆积法、挡板法、边坡法和倾斜法等。为了尽可能真实地模拟岩屑颗粒在大斜度井段的沉积与下滑，笔者采用倾斜法来测量岩屑床休止角。测量装置如图5所示：使用透明的有机玻璃管模拟井筒；用不同质量浓度的聚丙烯酰胺聚合物溶液（PAM）充当钻井液（即质量浓度为320，550，700和800 mg/L的PAM溶液）；以筛分处理后的上返岩屑为研究对象进行试验，上返岩屑的密度为2 100～2 200 kg/m³，平均粒径为0.95 mm。

图  5  岩屑床休止角测量装置

Figure  5.  The cuttings bed repose angle measuring device

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2.2   测量步骤与结果

利用标准筛对上返岩屑进行筛分处理；在有机玻璃管的低边固定岩屑，改变玻璃管内壁粗糙度；向玻璃管内注入PAM溶液，然后缓慢放入岩屑颗粒，平置有机玻璃管，并适度晃动使岩屑颗粒均匀分布于管壁低边，保证铺设的岩屑厚度至少大于10d_s，封闭管口；将有机玻璃管置于试验台架上，启动提升装置，缓慢提升一端；仔细观察床面颗粒情况，当表面岩屑颗粒开始运动时，关闭启动装置，记录测斜仪角度，每组试验重复6次以减小测量误差；更换PAM溶液并重复上述步骤，直至试验完成。岩屑床休止角测量结果见表1。

表  1  岩屑床休止角测量结果

Table  1.  Results of the cuttings bed repose angle measurement

PAM质量浓度/(mg·L–1)	休止角/（°）	休止井斜角/（°）		PAM质量浓度/(mg·L–1)	休止角/（°）	休止井斜角/（°）
320	26.5	63.5		700	27.9	62.1
320	27.7	62.3		700	28.0	62.0
320	25.5	64.5		700	30.2	59.8
320	29.6	60.4		700	30.0	60.0
320	23.9	66.1		700	30.8	59.2
320	28.2	61.8		700	31.5	58.5
550	24.2	65.8		800	31.0	59.0
550	30.2	59.8		800	27.0	63.0
550	26.2	63.8		800	32.0	58.0
550	27.9	62.1		800	28.5	61.5
550	27.6	62.4		800	31.7	58.3
550	28.8	61.2		800	30.8	59.2

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2.3   滑动休止角模型经验系数的修正

表1中，虽然随着PAM溶液质量浓度升高，个别测量值减小，但分析认为，这可能是试验误差所致，也可能是岩屑颗粒的排列差异性导致的，总体而言，随着PAM溶液浓度升高，岩屑床休止角呈增大趋势。PAM溶液质量浓度的变化，反映的是黏度的变化，即在实际钻井中，钻井液黏度越大，井底岩屑床休止角越大，表现在式（2）中就是相关系数的取值变化与颗粒表面液膜厚度不同。

利用试验结果计算摩擦系数，发现利用式（7）和式（10）计算出的结果存在一定误差。分析认为，这是由于当前岩屑休止角研究数据较少，本文所建楔入堆积模型中岩屑表面液膜厚度$\delta$参考了泥沙休止角的研究成果。为了尽可能减少这种误差，根据试验结果，对岩屑滑动休止角计算模型中的颗粒液膜厚度进行了修正：

变换式（21）得：

式中：$\lambda$和$\eta$为液膜修正系数，其中$\eta$=0.998～1.048。

根据所建岩屑床休止角预测模型中岩屑颗粒的液膜厚度参考值及岩屑粒径，利用式（22）计算出的液膜修正系数$\lambda$为0.974～1.618，以不同质量浓度PAM溶液中多次测量的平均值为准，得出不同质量浓度PAM溶液中岩屑颗粒液膜修正系数，并利用该修正系数计算颗粒表面液膜厚度，最后计算得出在320，550，700和800 mg/L PAM溶液中的岩屑床滑动休止角分别为24.2°、25.8°、27.1°和28.5°，而试验平均值分别为26.9°、27.5°、29.7°和30.2°。虽然理论值相较于试验值偏于保守，但从保证钻井作业安全的角度来说，更具有实际意义。

3.   岩屑床休止角预测模型的计算

3.1   黏结力的影响

关于不同密度黏性颗粒休止角随粒径变化的规律在文献[18]中有详细论述：当黏性颗粒粒径大于1.0 mm时，黏结力对休止角的影响较小，这主要是由于黏结力与重力的比值减小，如图6所示。

图  6  岩屑黏结力与重力之比随粒径的变化曲线

Figure  6.  Curve of the ratio of cuttings adhesion force to gravity varying with particle size

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从图6可以看出，黏结力与重力之比随岩屑粒径增大而减小。当粒径为1.0 mm时，最大黏结力与重力之比（岩屑密度为2 100 kg/m³）约为0.085；并且，在同一粒径下，岩屑的密度越大，其黏结力与重力之比越小，这表明对于密度较大的岩屑颗粒，计算其岩屑床休止角时可以忽略黏结力，即密度较大的岩屑颗粒在大斜度井段的沉积可以视为散体颗粒的堆积。

当黏结力趋近于0，即F_B→0时，式（11）变为：

3.2   “+”和“–”的选择

根据图4，当岩屑颗粒从平均岩屑床面滚动时，ϕ在$0 \sim \dfrac{{\text{π}} }{3}$变化，ϕ取不同值时，岩屑滚动休止角随粒径的变化曲线如图7所示。当式（20）中“±”取“+”时，计算结果如图7（a）所示；当取“–”时，计算结果如图7（b）所示。

图  7  岩屑滚动休止角随粒径的变化曲线

Figure  7.  Curve of the cuttings rolling repose angle varying with particle size

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从图7可以看出，式（20）中“±”取“+”和“–”时，休止角随粒径的变化呈完全相反的趋势。但大量研究表明^[11–15]，除粉体颗粒（一般粒径<0.1 mm）和塑料沙的休止角随粒径增大而减小外，其余表面粗糙颗粒（一般粒径为0.1～40.0 mm）的休止角随粒径增大而增大。因此，从计算结果来看，式（20）中“±”取“–”时图7（b）的变化规律更符合实际。式（11）中“±”也取“–”，其原因类似。

由图7（b）可知：同一粒径下，ϕ越小，即岩屑颗粒排列越疏松，滚动休止角越大；相同排列情况下，滚动休止角随粒径增大而增大；但当粒径>1.0 mm时，变化趋于平缓；当$\phi = {60^ \circ }$时，颗粒排列最为紧密，滚动休止角最小，随着粒径增大，休止角逐渐接近于30°。由于实际钻井中岩屑粒径有大有小，排列呈现出“小中有大，大中有小”的特征，因此根据岩屑颗粒形态，当考虑岩屑床滚动休止角模型时，其休止角不超过30°这一取值更具有实际意义。

4.   结论与建议

1）基于泥沙堆积楔入模型，分析了平均岩屑床面颗粒滚动与滑动时的受力情况，建立了大斜度井段岩屑床休止角预测模型，根据试验数据对预测模型用到的部分经验系数进行了修正。

2）室内测量试验发现，岩屑床休止角为23.9°～31.7°。受黏结力影响，岩屑床休止角随PAM溶液质量浓度与颗粒粒径增大而增大。通过计算和分析岩屑床滚动休止角，认为其稳定在25°～30°。

3）本文是以岩屑粒径相同为前提进行的研究，实际上返岩屑粒度分布变化多样，建议以后研究岩屑床休止角时，以粒度分析为基础，讨论不同级配对岩屑在钻井液中休止角的影响。