考虑水化损伤作用的页岩动态自吸模型

余海棠; 丁乙; 刘艳梅; 彭妙; 梁利喜; 余小龙

doi:10.11911/syztjs.2023054

考虑水化损伤作用的页岩动态自吸模型

1.
延长油田股份有限公司，陕西延安 716000
2.
油气藏地质及开发工程全国重点实验室（西南石油大学），四川成都 610500
3.
中国石油新疆油田分公司科技信息处，新疆克拉玛依 834000

基金项目: 国家自然科学基金青年科学基金项目“高温高应力深层页岩渗吸–水化耦合机制”（编号：42202194）资助

详细信息

作者简介:
余海棠（1980—），男，2004年毕业于湖北工业大学化学工程与工艺专业，2007年获西安石油大学化学工艺专业硕士学位，2020年获中国石油大学（北京）油气田开发工程专业博士学位，正高级工程师，主要从事油田开发方面的研究和管理工作。E-mail: 153984868@qq.com。

中图分类号: TE355.5
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出版历程
- 收稿日期: 2022-04-10
- 修回日期: 2023-06-22
- 网络出版日期: 2023-08-04
- 刊出日期: 2023-10-30

A Dynamical Spontaneous Imbibition Model for ShaleConsidering Hydration Damage

1.
Yanchang Oilfield Co., Ltd., Yan’an, Shaanxi, 716000, China
2.
National Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation(Southwest Petroleum University), Chengdu, Sichuan, 610500, China
3.
Sci-tech Information Department, PetroChina Xinjiang Oilfield Company, Karamay, Xinjiang, 834000, China

摘要

摘要:
页岩自吸作用是影响其钻井、压裂等工程措施的重要基础现象。不同于砂岩、碳酸盐岩地层，页岩黏土矿物发育，水相介质侵入页岩后与黏土接触诱发水化结构损伤，促进自吸。因此，若忽略自吸过程中的水化损伤，不符合页岩实际吸水状态，从而影响钻完井工程设计。为此，基于室内试验手段，建立了水化结构损伤定量表征方法，并以水化损伤演变规律为依据，在建立动态自吸毛细管力与动态迂曲度计算公式的基础上，构建了页岩动态自吸模型。页岩动态自吸模型预测的自吸曲线与实际自吸曲线吻合程度较好，验证了所构建模型的准确性。利用所构建的页岩动态自吸模型系统分析了影响页岩动态自吸的因素，结果表明，水化作用对页岩自吸具有显著促进作用。在强水化作用下，页岩孔隙度增大、迂曲度降低，具备更强的驱动力与更小的流动阻力，导致自吸量与自吸速率明显增大，表明水化损伤是影响页岩自吸的主要因素。研究结果深化了对页岩自吸机制的认识，为页岩地层钻完井工程制定合理技术措施提供了理论依据。
- 页岩 /
- 自吸 /
- 水化损伤 /
- 物理模型 /
- 数学模型
Abstract:
Shale spontaneous imbibition is an important and fundamental phenomenon affecting drilling, fracturing, and other engineering measures. Unlike sandstone or carbonate formation, clay mineral is rich in shale. When the water phase enters into shale, it triggers hydration structural damage after contacting with clay, improving the spontaneous imbibition. Thus, if hydration damage during spontaneous imbibition is ignored, it is not consistent with the actual spontaneous imbibition of shale, affecting the design of drilling and completion engineering. Therefore, based on laboratory experiments, a quantitative characterization method of hydration structural damage was established. According to the evolution rule of hydration damage, formulas for the dynamical capillary force of spontaneous imbibition and the dynamical tortuosity were established, and a model of shale dynamic spontaneous imbibition was established. The spontaneous imbibition curve predicted by the shale dynamic spontaneous imbibition model was in good agreement with the actual spontaneous imbibition curve, which verified the accuracy of the model. The factors influencing the shale dynamic spontaneous imbibition were systematically analyzed by using the shale dynamic spontaneous imbibition model. The results show that hydration can significantly promote shale spontaneous imbibition. Under strong hydration, shale porosity increases, and tortuosity decreases, showing stronger driving force and smaller flow resistance and resulting in significantly increased spontaneous imbibition volume and spontaneous imbibition rate, indicating that hydration damage is the main factor affecting shale spontaneous imbibition. The research results deepen the understanding of shale spontaneous imbibition mechanism and provide a theoretical basis for the development of reasonable technical measures in shale drilling and completion engineering.
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- spontaneous imbibition /
- hydration damage /
- physical model /
- mathematical model

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我国页岩气资源潜力巨大，实现页岩气经济效益开采对实现我国“双碳”发展目标具有重大意义。页岩地层钻完井过程中，当页岩与水基工作液（钻井液和压裂液）接触时，页岩自吸作用将驱动外部流体侵入页岩内部，诱发水化损伤，改变岩石结构，进一步促进自吸，导致页岩内部含水率上升、水化损伤加剧，显著影响页岩地层安全钻井与水力压裂效果^[1-9]。由此可见，自吸是影响页岩地层钻完井工程优化设计的重要参考指标。

针对页岩自吸作用，基于多孔介质渗吸理论，E. W. Washburn等人^[10-12]以Lucas-Washburn、Terzaghi和Handy自吸模型为基础，探索了页岩自吸趋势。在此基础上，研究人员考虑页岩自吸的特殊性，开展了针对性研究。Wu Zhongwei等人^[13-14]借助分形理论，明确了页岩孔隙的分形特征，建立了页岩分形自吸解析模型。何颂根等人^[15-16]考虑不同孔隙类型，将页岩孔隙分为有机质孔、黏土孔、脆性矿物孔，建立了多重孔隙自吸模型。K. Makhanov和Liang Lixi等人^[17-18]采用不同层理角度页岩，在室内进行了自吸试验，发现当自吸方向平行于页岩层理时，自吸量增加，说明层理属于高渗面，有利于自吸。针对页岩纳米孔隙发育特征，Wu Keliu等人^[19]指出纳米尺度下页岩自吸可能具备边界滑移现象，并给出了相应的自吸修正方程。Wang Xiukun和李江涛等人^[20-21]采用玻尔兹曼法、孔隙网络模拟等数值模拟手段，分析了流体在页岩纳米孔隙中的流动规律。

虽然目前已经对页岩自吸开展了大量研究，但主要针对页岩复杂孔隙结构特征，尤其以固定孔隙结构为前提。然而，页岩黏土矿物发育，自吸过程中同步发生水化反应，形成结构损伤，提供了新的自吸路径，导致页岩自吸具备典型的“动态”特征。目前，曾凡辉等人^[22-23]将自吸与核磁共振结合，证明了结构损伤对页岩自吸的促进作用。然而，如何实现水化损伤下的页岩自吸定量表征，是尚未解决的关键问题。因此，笔者聚焦水化损伤下的页岩动态自吸特征，通过室内试验，实现了自吸过程中页岩结构损伤的定量表征，建立了动态自吸毛细管力与动态迂曲度的计算方程，构建了页岩动态自吸模型，揭示了水化损伤对页岩自吸的影响机制，有助于科学、准确地评价页岩自吸特征与能力，为页岩地层钻完井优化设计提供理论支撑，助力我国页岩气的高效勘探开发。

1. 页岩自吸中的水化结构损伤特征

1.1 水化结构损伤

用四川盆地龙马溪组页岩岩样进行岩心自吸试验（悬吊岩样，下端面接触水），观测不同自吸时间下的页岩岩样表面，并测试页岩岩样不同自吸时间下的吸水量，结果如图1所示。由图1可知：随着自吸进行，水化结构损伤加剧，在24 h左右时岩样表面出现明显裂纹，而在自吸后期，裂纹没有进一步扩展趋势，表明前24 h是水化裂缝的主要发育段；在水化裂纹主要增长时间内（24 h内），页岩岩样吸水量的增幅最为显著。由此说明，水化裂纹是影响页岩吸水的主要因素。在此基础上，统计目前针对龙马溪组页岩的水化微观试验^[24-26]，以CT扫描、偏光显微镜等手段，观测页岩内部水化微裂纹的演化过程（见图2），发现页岩吸入水后水化导致微裂缝扩展演化，且水沿裂纹运移，最终在页岩表面形成宏观裂缝，从而显著提升页岩自吸能力。

图 1 页岩岩样自吸过程中表面及其吸水率的变化

Figure 1. Changes in surface and water absorption of shale rock samples during spontaneous imbibition

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图 2 页岩水化裂纹多尺度演化过程^[16-18]

Figure 2. Multiscale evolution process of shale hydration cracks^[16-18]

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1.2 结构损伤定量表征

通过测定页岩岩样不同自吸时间下的孔隙结构参数，可以建立水化结构损伤的定量表征方法。由于页岩孔隙具有多尺度特征，依靠单一测试方法难以准确获取页岩结构特征。因此，以自吸试验为基础，结合压汞与氮气吸附试验，实现自吸过程中页岩孔隙结构的定量表征^[27]。

以岩石基础物性（声波、电阻率及密度）为指标，选取相近2块岩样为一组，自吸不同时间并低温烘干后，一块岩样采用压汞法分析其孔径分布，一块岩样采用氮气吸附法分析其孔径分布，综合2类尺度下的孔径分布（见图3），确定不同自吸时间下的页岩平均孔径和孔隙度，结果如图4所示。由图4可知：随着自吸时间增长，水化造成的结构损伤增强，孔隙空间明显增大，平均孔径呈现增大趋势，在前24 h内孔隙结构参数变化最为剧烈；自吸后期，随着水化作用逐渐弱化，孔隙结构参数趋于稳定，整体变化趋势接近幂函数形式。原状页岩岩样平均孔径与孔隙度分别为7.5 nm和3.3%；受自吸过程中水化损伤的影响，当自吸达到稳定时，平均孔径与孔隙度增大至25.2 nm和6.3%。

图 3 氮气吸附、压汞及联合表征示意

Figure 3. Joint characterization of mercury intrusion and nitrogen adsorption

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图 4 页岩岩样自吸过程中平均孔径与孔隙度的变化

Figure 4. Changes in average pore size and porosity of shale rock samples during spontaneous imbibition

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2. 页岩自吸动态毛细管力与迂曲度分析

2.1 动态毛细管力分析

目前，研究页岩自吸时均将毛细管力设为定值，这在致密砂岩、碳酸盐岩等岩石自吸研究中具有适用性，但页岩地层强水化损伤会导致页岩孔隙结构发生变化。自吸过程中，页岩平均孔径的变化如图5所示。

图 5 页岩岩样自吸过程中的孔径变化示意

Figure 5. Evolution of pore size during spontaneous imbibition of shale rock samples

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由图5可知：无水化损伤时，自吸过程中页岩的平均孔径不发生变化；当产生水化损伤时，由于水化次生裂纹的演化，平均孔径在不断变化。

$\Delta \lambda (t)={\lambda }_{\text{a}}(t+\Delta t)-{\lambda }_{\text{o}}$

(1)

式中：∆λ(t)为自吸时刻t至t+∆t的平均孔径增量，nm； ${\lambda _{\text{o}}}$ 为原状平均孔径，nm； ${\lambda _{\text{a}}}(t + \Delta t)$ 为自吸时刻t+∆t的平均孔径，nm。

自吸过程中页岩发生水化损伤演变，页岩的平均孔径处于动态变化中，导致页岩毛细管力也在动态变化。为此，笔者通过自吸过程中的极限条件与平均孔径曲线的几何关系进行水化损伤表征，如图6所示。由图6可知，在任意自吸时刻，平均孔径曲线有2大极限条件，分别为坐标轴垂直方向与平行方向，其物理解释为：

图 6 页岩岩样自吸过程中的平均孔径演变示意

Figure 6. Evolution of average pore size during spontaneous imbibition of shale rock samples

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1）垂直方向上，孔径增长率dλ(t)/dt=∞，表明在自吸前缘水相介质遇见页岩基质，水化损伤作用瞬态完成，裂纹演化瞬间完成，此时平均孔径为自吸稳定下的最终页岩平均孔径λ_a^m，孔径增量∆λ=λ_a^m−λ_o；

2）平行方向上，孔径增长率dλ(t)/dt=0，表明在自吸前缘水相介质遇见页岩基质，没有水化损伤产生，平均孔径无增长，此时页岩平均孔径保持初始孔径λ_o，平均孔径增量∆λ=0。

基于此，可以得到任意自吸时刻t时水化作用对平均孔径影响的极限条件：

$\left\{ \begin{gathered} \Delta \lambda = \lambda _{\text{a}}^{\text{m}} - {\lambda _{\text{o}}}\;,\;\;\;\;\frac{{{\text{d}}{\lambda _{\text{a}}}(t)}}{{{\text{d}}t}} = \infty \\ \Delta \lambda = 0\;,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{\text{d}}{\lambda _{\text{a}}}(t)}}{{{\text{d}}t}} = 0 \\ \end{gathered} \right.$

(2)

确定2个极限条件以后，平均孔径曲线任意位置A（自吸任意时刻）的孔径增长速率位于2个极限条件之间 $\left(0 < \dfrac{{{\text{d}}{\lambda_{\text{a}}}(t)}}{{{\text{d}}t}}<\infty \right)$ 。基于平均孔径曲线上任意时间点位置处斜率与2个极限状态的几何关系，定义平均孔径变化系数 ${\delta _\lambda }(t)$ ：

${\delta _\lambda }(t) = (\lambda _{\text{a}}^{\text{m}} - {\lambda _{\text{o}}})\frac{{\arctan \dfrac{{{\text{d}}\lambda_{\text{a}} (t)}}{{{\text{d}}t}}}}{{\dfrac{{\text{π }}}{2}}}$

(3)

平均孔径变化系数的物理含义是某一自吸时刻下，水化损伤对平均孔径的影响程度。

将平均孔径变化系数代入毛细管力公式，可得动态毛细管力表达式：

${p_{\text{c}}}(t) = \frac{{4{\sigma _{\text{w}}}\cos \theta }}{{{\lambda _{\text{o}}} + (\lambda _{\text{a}}^{\text{m}} - {\lambda _{\text{o}}})\dfrac{{\arctan \dfrac{{{\text{d}}\lambda_{\text{a}} (t)}}{{{\text{d}}t}}}}{{\dfrac{{\text{π }}}{2}}}}}$

(4)

式中： ${p_{\text{c}}}(t)$ 为动态毛细管力，MPa； ${\sigma _{\text{w}}}$ 为表面张力，N/m； $\theta$ 为润湿角，（°）。

2.2 动态迂曲度分析

流体进入岩石内的多孔介质后，在其内部流动时，由于多孔介质颗粒的分布、形态等具有非均质性，流体的流线是弯曲的，对于流线的弯曲特征，通常采用迂曲度（τ）来描述。由于技术所限，目前难以将一块岩样所有位置的迂曲度全部提取出来，因此，采用平均迂曲度进行分析。

${\tau_{\text{a}}} = \frac{1}{n}\sum\limits_i {{\tau _i}} \;\;\quad (i = 1,2,3,\cdots ,n)$

(5)

式中： ${\tau _{\text{a}}}$ 为平均迂曲度；τ_i为第i条流线迂曲度；n为流线数量。

假定页岩颗粒为球形颗粒与方体颗粒，分别获取球形颗粒与方体颗粒下的典型流线（分别为直线形、Z字形和曲面形）^[28-29]，如图7所示。页岩平均迂曲度的表达式为：

图 7 圆球与方体颗粒下的各类流动类型

Figure 7. Various flow types under circular and square particles

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${\tau _{\text{a}}} = \left(1 - \phi \right)\left\{ {\dfrac{{1 + \sqrt 3 \dfrac{\dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {\text{π }}}}{{1 - \phi }}} }{2}}}{{\sqrt 3 \dfrac{\dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {\text{π }}}}{{1 - \phi }}} }{2}}} + \dfrac{{\sqrt 3 \dfrac{\dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {\text{π }}}}{{1 - \phi }}} }{2}{\text{ + }}\dfrac{{{\text{π}} - 2}}{2}}}{{\sqrt 3 \dfrac{\dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {\text{π }}}}{{1 - \phi }}} }{2}}}} \right. + \;1{\text{ + }}\dfrac{1}{2}\sqrt {1 - \phi } {\text{ + }}\left. {\dfrac{{\sqrt {{{\left(\dfrac{1}{{\sqrt {1 - \phi } }} - 1\right)}^2} + {{\dfrac{1}{4}}}} }}{{\dfrac{1}{{\sqrt {1 - \phi } }} - 1}}} \right\}{\text{ + }}\phi$

(6)

式中： $\phi$ 为孔隙度。

依据水化损伤下的孔隙度变化趋势，基于3.1节的方法，建立不同自吸时间下孔隙度变化幅度表达式：

${\delta _\phi }(t) = (\phi _{\text{a}}^{\text{m}} - {\phi _{\text{o}}})\frac{{\arctan \dfrac{{{\text{d}}{\phi _{\text{a}}}(t)}}{{{\text{d}}t}}}}{{\dfrac{{\text{π }}}{2}}}$

(7)

式中： ${\delta _\phi }(t)$ 为自吸t时刻下孔隙度的变化幅度； $\phi _{\text{a}}^{\text{m}}$ 为自吸稳定后的孔隙度； ${\phi _{\text{o}}}$ 为原状孔隙度。

结合式（6）和式（7），可获得水化损伤下页岩动态迂曲度的表达式：

$\begin{gathered} {\tau _{\text{a}}}\left(t\right) = \left\{ {1 - [\phi {\text{ + }}{\delta _\phi }\left(t\right)]} \right\}\left\{ {\dfrac{{1 + \sqrt 3 \dfrac{\dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {\text{π }}}}{{1 - [\phi {\text{ + }}{\delta _\phi }\left(t\right)]}}} }{2}}}{{\sqrt 3 \dfrac{\dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {\text{π }}}}{{1 - [\phi {\text{ + }}{\delta _\phi }\left(t\right)]}}} }{2}}} + \dfrac{{\sqrt 3 \dfrac{\dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {\text{π }}}}{{1 - [\phi {\text{ + }}{\delta _\phi }\left(t\right)]}}} }{2}{\text{ + }}\dfrac{{{\text{π }} - 2}}{2}}}{{\sqrt 3 \dfrac{\dfrac{2}{3}\sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {\text{π }}}}{{1 - [\phi {\text{ + }}{\delta _\phi }\left(t\right)]}}} }{2}}}} \right. + \;1{\text{ + }} \\ \;\;\;\;\; \\ \qquad\qquad\qquad\dfrac{1}{2}\sqrt {1 - [\phi {\text{ + }}{\delta _\phi }\left(t\right)]} {\text{ + }}\left. {\dfrac{{\sqrt {{{\left(\dfrac{1}{{\sqrt {1 - [\phi {\text{ + }}{\delta _\phi }\left(t\right)]} }} - 1\right)}^2} + \dfrac{1}{4}} }}{{\dfrac{1}{{\sqrt {1 - [\phi {\text{ + }}{\delta _\phi }\left(t\right)]} }} - 1}}} \right\}{\text{ + }}[\phi {\text{ + }}{\delta _\phi }\left(t\right)]\;\;\;\;\; \\ \end{gathered}$

(8)

3. 页岩动态自吸物理模型

3.1 自吸模型构建

对于页岩自吸，毛细管力为主控驱动力。此外，由于黏土–水分子的双电层效应，页岩具有半透膜特征^[30]，因此，渗透压也是驱动力，其计算公式为：

${p_{\text{π }}} = \eta \frac{{RT}}{{\bar V}}\ln \frac{{{a_{\text{n}}}}}{{{a_{\text{m}}}}}$

(9)

式中： ${p_{\text{π }}}$ 为渗透压，Pa； $\bar V$ 为水的偏摩尔体积，m³/mol； ${a_{\text{m}}}$ 为岩石活度； ${a_{\text{n}}}$ 为外部流体活度； $T$ 为温度，K；R为气体常数，J/（mol·K）； $\eta$ 为膜效率。

同时，由于本文探讨的自吸模式为垂直端面自吸，重力为阻力。因此，综合毛细管力、渗透压及重力，依据LW自吸模型，得到自吸表达式：

$\frac{{{\text{d}}{L_{\text{t}}}}}{{{\text{d}}t}} = \frac{{{\lambda ^2}}}{{32{\mu_{\text{w}}}{L_{\text{t}}}}}\left( {\frac{{4{\sigma _{\text{w}}}\cos \theta }}{\lambda } + \eta \frac{{RT}}{{\bar V}}\ln \frac{{{a_{\text{n}}}}}{{{a_{\text{m}}}}} - \rho g{L_{\text{s}}}} \right)$

(10)

式中： ${L_{\text{t}}}$ 为弯曲毛细管实际吸水长度，m； ${L_{\text{s}}}$ 为吸水直线长度，m； ${\mu_{\text{w}}}$ 为液体黏度，Pa·s； $\rho$ 为液体密度，kg/m³； $g$ 为重力加速度，m/s²。

根据迂曲度的定义得知 $\tau = \dfrac{{{L_{\text{t}}}}}{{{L_{\text{s}}}}}$ ， ${v_{\text{t}}} = \tau {v_{\text{s}}}$ ，从而式（10）可以写为：

$\frac{{{\text{d}}{L_{\text{s}}}}}{{{\text{d}}t}}{\text{ = }}\frac{{{\lambda ^2}}}{{32{\mu_{\text{w}}}{\tau ^2}}}\left( {\frac{{4{\sigma _{\text{w}}}\cos \theta }}{\lambda } + \eta \frac{{RT}}{{\bar V}}\ln \frac{{{a_{\text{n}}}}}{{{a_{\text{m}}}}}} \right)\frac{1}{{{L_{\text{s}}}}} - \frac{{{\lambda ^2}\rho g}}{{32{\mu_{\text{w}}}{\tau ^2}}}$

(11)

当自吸达到稳定时，水上升的速度 $\dfrac{{{\text{d}}{L_{\text{s}}}}}{{{\text{d}}t}} = 0$ ，可以求解得到平衡高度。基于自吸初始条件L_s=0，对式（11）积分，可得单根弯曲毛细管的吸水方程：

$\left\{ \begin{gathered} t = - \frac{{{A_{\text{h}}}}}{{B_{\text{h}}^2}}\ln \left(1 - \frac{{{B_{\text{h}}}}}{{{A_{\text{h}}}}}{L_{\text{s}}}\right) - \frac{{{L_{\text{s}}}}}{{{B_{\text{h}}}}} \\ {A_{\text{h}}} = \frac{{{\lambda ^2}\left( {\dfrac{{4{\sigma _{\text{w}}}\cos \theta }}{\lambda } + \eta \dfrac{{RT}}{{\bar V}}\ln \frac{{{a_{\text{n}}}}}{{{a_{\text{m}}}}}} \right)}}{{32{\mu_{\text{w}}}{\tau ^2}}}\;\; \\ {B_{\text{h}}} = \frac{{\rho g{\lambda ^2}}}{{32\mu_{\text{w}}{\tau ^2}}} \\ \end{gathered} \right.$

(12)

在此基础上，进一步考虑水化结构损伤，融入动态毛细管力与动态迂曲度，代入式（12），进而得到水化损伤下的页岩动态自吸方程：

$\frac{{{\text{d}}{L_{\text{s}}}}}{{{\text{d}}t}} = \frac{{{{[{\lambda _{\text{o}}} + {\delta _\lambda }(t)]}^2}}}{{32{\mu_w}{{\left\{ {{\tau _{\text{a}}}[{\phi _{\text{o}}} + {\delta _\phi }(t)]} \right\}}^2}{L_{\text{s}}}}}\left\{ {\frac{{4\sigma_{\text{w}} \cos \theta }}{{{\lambda _{\text{o}}} + {\delta _\lambda }(t)}}{\text{ + }}\eta \frac{{RT}}{{\bar V}}\ln \left(\frac{{{a_{\text{n}}}}}{{{a_{\text{m}}}}}\right)} \right\} - \frac{{\rho g{{[{\lambda _{\text{o}}} + {\delta _\lambda }(t)]}^2}}}{{32{\mu_{\text{w}}}{{\left\{ {{\tau _{\text{a}}}[{\phi _{\text{o}}} + {\delta _\phi }(t)]} \right\}}^2}}}$

(13)

采用数值积分方法，利用插值方法对式（13）积分。基于插值法原理，对被积函数f(x)进行n次插值，可逼近积分值。积分过程为：

$\left\{ \begin{gathered} \int_a^b {f(x){\text{d}}x \approx \sum\limits_{k = 0}^n {f({x_k})\int_a^b {{l_k}(x){\text{d}}x} } } \\ \int_a^b {{l_k}(x){\text{d}}x} = \int_a^b {{\prod _{j \ne k}}\frac{{x - {x_j}}}{{{x_k} - {x_j}}}{\text{d}}x} \\ \end{gathered} \right.$

(14)

利用上述吸水方程可求得平均孔径下的单个毛细管内吸水长度。页岩内部存在多根毛细管，借助多束毛细管模型（见图8），求取自吸体积（ ${V_i}(t)$ ）：

图 8 岩石多束毛管模型^[31]

Figure 8. Rock multi-bundle capillary model^[31]

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$\begin{split}& \\ &{V_i}(t) = {L_{\text{s}}}(t){A_{\text{p}}} = {L_{\text{s}}}A\phi (t) \end{split}$

(15)

式中：A_p为孔隙横截面，m²。

值得注意的是，对于某一时刻（如t时刻）的吸水量，需选择对应时刻的 $\phi (t)$ 。基于吸水体积和流体密度，可得到该时刻下的吸水质量，进而利用吸水质量与岩样初始质量的比值，求得岩样的吸水率：

$w(t) = \frac{{W(t) - {W_{\text{o}}}}}{{{W_{\text{o}}}}} = \frac{{\rho {V_i}(t)}}{{{W_{\text{o}}}}}$

(16)

页岩动态自吸模型求解流程如图9所示。由图9可知，本文所构建模型考虑了水化作用所形成渗透压、动态毛细管力及动态迂曲度的影响，更符合页岩自吸实际情况。

图 9 页岩动态自吸模型求解流程

Figure 9. Solution process for shale dynamic spontaneous imbibition model

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3.2 自吸模型验证

利用本文模型预测页岩岩样的自吸曲线，并与页岩岩样实际自吸曲线对比，以验证模型的准确性。图10为3个页岩岩样的实际自吸曲线与模型预测自吸曲线的对比。由图10可知，3个页岩岩样的自吸曲线与模型预测自吸曲线的对应性较好，部分区域有一定偏差，这主要是因为每个岩样的非均质性及页岩物性测试中可能存在偏差。验证结果表明，本文构建的动态自吸模型对页岩岩样具有很好的适用性，能够准确预测页岩自吸情况。

图 10 模型预测自吸曲线与实际自吸曲线的对比

Figure 10. Comparison between the model predicted and actual spontaneous imbibition curves

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3.3 模型对比分析

基于本文构建的自吸模型，以驱动力和迂曲度分类，开展了不同类型自吸模型对比分析，结果如图11所示。由图11可知：

图 11 不同自吸模型预测自吸曲线的对比

Figure 11. Comparison of predicting spontaneous imbibition curves by different spontaneous imbibition models

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1）当毛细管流线特性一定时（见图11（a）），忽略渗透压，驱动力较小时预测的自吸量偏小，由此可以看出，页岩的半透膜效应对自吸具有促进作用；忽略水化损伤导致的毛细管力变化，会导致预测过程中的驱动力较大（流动阻力保持定值），造成预测的自吸量偏大。

2）当驱动力一定时（见图11（b）），假设毛细管为平直毛细管，忽略弯曲毛细管的流动阻力时，预测的自吸量较大。考虑静态弯曲毛细管的流动阻力时，预测的自吸量明显偏小，这主要是因为，随着水化损伤增加，迂曲度降低，流动阻力降低，导致考虑静态弯曲毛细管时预测的自吸量偏低。

3）综合对比，本文构建的动态自吸模型的预测自吸曲线与实测自吸曲线拟合程度最好，说明了水化损伤对页岩自吸的重要性。此外，也说明水化损伤同步作用于自吸驱动与自吸阻力，必须同时考虑两者的动态变化，才能科学表征页岩的自吸。

4. 页岩自吸影响因素分析

基于本文构建的动态自吸模型，进行了页岩动态自吸影响因素分析，结果如图12所示。由图12可知：随着孔隙度增大，页岩内部储集流体的空间增大，吸水通道随之增大，使内部毛细管迂曲度减轻，造成流动阻力降低，从而使自吸能力显著提高。随着迂曲度增大，页岩内部毛细管道更为曲折，流动阻力更大，水更难吸入页岩内部，导致自吸量显著减小。

图 12 页岩动态自吸影响因素分析

Figure 12. Analysis of factors influencing shale dynamic spontaneous imbibition

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更为明显的是，随着迂曲度增大，自吸平衡时间明显增长。因为高迂曲度对应高流动阻力，使吸水流动过程放缓。因此，低迂曲度下，自吸效应能更快达到平衡。随着外部流体活度增大，水化作用增强，对页岩结构损伤更为严重，产生更多水化裂纹，使流动空间增大，从而利于外部流体侵入页岩，加剧自吸。同时，外部流体活度较大，易在页岩内外形成较大活度差。当膜效率一定时，高活度差将导致渗透压增大，增大了页岩外部驱动力。随着接触角减小，亲水性增加，毛细管力增强，导致自吸量增大，页岩自吸能力增强。

5. 结　论

1）随着自吸时间延长，水化损伤加剧，前24 h是水化裂缝的主要发育阶段，自吸后期水化损伤达到稳定。自吸过程中在水化损伤作用下，页岩平均孔径与孔隙度呈现明显增大趋势，当自吸达到稳定状态时，试验所用页岩岩样的平均孔径与孔隙度分别提升至约25.2 nm和6.3%。

2）考虑水化结构损伤的影响，建立了自吸过程中页岩动态毛细管力与动态迂曲度的表达式。在此基础上，融入LW自吸模型，构建了页岩动态自吸模型，并验证了模型的准确性与适用性。

3）通过对比分析自吸模型，论证了水化损伤对自吸驱动与自吸阻力的同步作用效应，因此必须考虑水化损伤下的动态驱动力与动态自吸阻力，才能精准表征页岩的自吸。

4）利用构建的页岩动态自吸模型，分析了影响页岩自吸的因素，发现随孔隙度增大、迂曲度降低、流体活度增大及接触角减小，页岩具备更强的驱动力与更小的流动阻力，自吸速率与自吸量均显著提升。

图 1 页岩岩样自吸过程中表面及其吸水率的变化

Figure 1. Changes in surface and water absorption of shale rock samples during spontaneous imbibition

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图 2 页岩水化裂纹多尺度演化过程^[16-18]

Figure 2. Multiscale evolution process of shale hydration cracks^[16-18]

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图 3 氮气吸附、压汞及联合表征示意

Figure 3. Joint characterization of mercury intrusion and nitrogen adsorption

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图 4 页岩岩样自吸过程中平均孔径与孔隙度的变化

Figure 4. Changes in average pore size and porosity of shale rock samples during spontaneous imbibition

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图 5 页岩岩样自吸过程中的孔径变化示意

Figure 5. Evolution of pore size during spontaneous imbibition of shale rock samples

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图 6 页岩岩样自吸过程中的平均孔径演变示意

Figure 6. Evolution of average pore size during spontaneous imbibition of shale rock samples

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图 7 圆球与方体颗粒下的各类流动类型

Figure 7. Various flow types under circular and square particles

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图 8 岩石多束毛管模型^[31]

Figure 8. Rock multi-bundle capillary model^[31]

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图 9 页岩动态自吸模型求解流程

Figure 9. Solution process for shale dynamic spontaneous imbibition model

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图 10 模型预测自吸曲线与实际自吸曲线的对比

Figure 10. Comparison between the model predicted and actual spontaneous imbibition curves

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图 11 不同自吸模型预测自吸曲线的对比

Figure 11. Comparison of predicting spontaneous imbibition curves by different spontaneous imbibition models

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图 12 页岩动态自吸影响因素分析

Figure 12. Analysis of factors influencing shale dynamic spontaneous imbibition

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