地质导向技术可以根据实时随钻测量结果调整井眼轨迹，提高水平井在复杂油藏中的储层钻遇率，最大限度地增加单井控制储量，提高钻井效率，降低成本^[1]。随钻方位电磁波电阻率仪器的探测深度较深，同时测量结果能反映地层界面或油水界面的方位信息，在地质导向技术中占据重要的主导地位。随钻方位电磁波电阻率仪器可以提供多频、多线圈距及多分量的测量数据，但方位电磁波电阻率测量仪器不宜直接用于地质导向，需通过实时反演得到界面距离、方位等信息^[2-3]，为地质导向决策提供依据。20世纪90年代以来，复杂井眼环境下三维电磁场正反演快速发展^[4-6]，主要采用有限差分法、有限元法等网格剖分方法，但由于计算时效难以满足现场要求，国外现场应用较为成熟的软件模块仍以简化的层状横向均匀一维地层模型为主^[7-8]。

目前，通常采用梯度下降法和高斯牛顿法对电测井资料进行反演。梯度下降法收敛时存在浮动，不够稳定，在最优解附近波动时难以判断是否收敛；高斯牛顿法收敛速度快，但每一步迭代都需要求解目标函数的Jacobian矩阵，计算量大。为此，笔者基于拟牛顿法对随钻方位电磁波电阻率仪器响应理论模型进行反演计算，并对实际测量数据进行实时反演，降低了Jacobian矩阵的计算次数，提高了反演速度并降低了对初值的依赖性。现场试验实时反演计算得到的井眼与地层的相对位置关系，能够为随钻方位电磁波电阻率仪器提供更精准的地质导向。

1.   随钻方位电磁波电阻率仪器响应特征

1.1   随钻方位电磁波电阻率仪器的工作原理

为了满足对日益复杂的油藏地质导向要求，各大油田技术服务公司先后推出了具有方位分辨功能的随钻方位电磁波电阻率仪器 ^[9-14]，虽然其天线排布、反演算法和结果显示不同，但基本原理都是利用了磁场交叉耦合分量的方位性和边界响应特性，通过反演成像实现油藏边界实时可视化三维地质导向。

中石化随钻测控技术中心研发的随钻方位电磁波电阻率仪器（azimuthal multi-propagation resistivity, AMR），在原来的电磁波电阻率仪器基础上增加了横向天线Rc ^[15-16]（见图1），轴向发射天线与横向接收天线彼此垂直，可以测量zx或zy方向的分量，且2种仪器都采用补偿测量方式。AMR仪器有400 kHz和2 MHz 2个工作频率，发射天线T1和T2、T3和T4分别关于轴向接收天线R1和R2对称，可以提供8条对称补偿的电磁波电阻率曲线；发射天线T5和T2关于横向接收天线Rc对称，可以提供2条对称补偿的定向电动势曲线。利用AMR仪器横向天线测量得到的电动势信号与电磁波电阻率结合，通过实时反演进行地质导向。

图  1  AMR仪器结构示意

Figure  1.  Structure sketch of AMR instrument

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1.2   TI地层模型

随钻测量受井眼影响较小，忽略井眼影响，地层模型可以采用一维TI（transversely isotropic）介质模型。成熟的随钻方位电磁波电阻率地质导向软件基本采用单界面或双界面模型^[17]，反演主要得到界面两侧原状地层电阻率及井眼距界面距离等。图2所示为双界面三层模型（图2中：Z₁， Z₂分别为界面位置，m；H_up ，H_down分别为仪器到上、下界面的距离，m；R_up为上地层电阻率，Ω·m；R_mid为指中间地层电阻率, Ω·m；R_down为下地层电阻率, Ω·m），该模型也可以简化为单界面双层模型。在该地层模型条件下，可采用层状介质地层中电磁场积分解析解导出快速计算随钻方位电磁波电阻率仪器响应^[18-22]，具体方法不再赘述。

图  2  层状地层模型示意

Figure  2.  Schematic map of layered strata

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1.3   随钻方位电磁波响应模拟

常规电磁波电阻率是探测范围内地层电阻率的综合反映，没有方位性，因此反映不了界面与井眼的相对位置关系。图3所示为胜利油田草XX井一段实际地层模型响应模拟及测量结果（图3中：R_d， R_s分别为深、浅相位电阻率，Ω·m），其中图3（a）和图3（b）为井眼轨迹与储层的相对位置关系，井眼分别从储层下方和储层上方穿过界面进入目的层，中间目的层位电阻率约为5.8 Ω·m，垂直深度约为4 m，井斜角约75°，上地层电阻率约1.2 Ω·m，下地层电阻率1.8 Ω·m。2种地层模型的电磁波电阻率响应是完全相同的（见图3（c）和图3（d）），理论模拟结果与实际测量曲线吻合，即只通过电阻率信息很难确定井眼轨迹与目的层的相对位置关系，因此只利用电磁波电阻率很难为井眼轨迹调整提供依据。

图  3  随钻电磁波电阻率响应模拟

Figure  3.  Simulation of LWD electromagnetic wave resistivity response

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对如图3所示的地层模型进行定向电动势响应模拟，结果表明，这2种地层模型所对应的定向电动势信号的响应则完全不同（见图4（a）和4（b），其中，U_zx为定向电动势，mV），图4（a）的模拟曲线与实测曲线不吻合，图4（b）的模拟曲线与实测曲线吻合，说明图3（b）模型中井眼与储层的相对位置是合理的，即井眼从目的层上界面进入目的层。图4（c）和4（d）为利用电磁波电阻率与定向电动势信号合成的方位电阻率成像，可以更加直观地表明井眼与储层的相对位置。成像图中方位角0°和360°为仪器高边，180°为仪器低边。图4（c）成像显示边界附近高边电阻率大于低边电阻率，说明高阻目的层位于井眼上方；图4（d）成像显示边界附近低边电阻率大于高边电阻率，说明高阻目的层位于井眼下方。对于方位电磁波仪器响应来说，电导性地层和电阻性地层的相对位置及对比度关系决定了定向电动势的符号和幅度，定向电动势信号在界面处幅度最大，电导性地层位于电阻性地层上方时，定向电动势信号为正，反之为负^[23]。定向电动势信号的幅度与界面两侧介质的电导率差有关，电导率差越大，定向电动势信号幅度越大。从图4可以看出，基于定向电动势信号方位响应特性及与界面距离的响应关系，利用随钻方位电磁波电阻率仪器测量得到的地层电阻率和定向电动势信号进行联合反演，可以确定井眼与储层的相对位置。

图  4  随钻方位电磁波响应模拟

Figure  4.  Simulation of LWD azimuthal electromagnetic wave response

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2.   基于拟牛顿法的反演算法

通常随钻电磁波测井都是将接收天线测量的电压直接转换成地层电阻率或电导率^[24]，但在利用随钻电磁波测井资料进行地质导向过程中，需要井眼轨迹与地层的相对位置等信息（例如界面距离、界面方位、相对井斜角等），这些信息不能从所测量的物理量中直接得出，而是必须通过地层模型和反演算法来提取到。

将测井数据表示为向量形式，地层参数与仪器响应可以表示为^[25-27]：

式中：${{q}}$为地层参数矩阵（包含地层电阻率、界面距离等）；${{y}}$为随钻方位仪器响应值；${{f}}$为仪器响应函数；${{\varPhi}}$为目标函数。

反演的过程就是通过逐次修正${{q}}$来实现${{\varPhi}}$最小化的过程。反演算法流程如图5所示。

图  5  拟牛顿反演算法流程

Figure  5.  Algorithm flow of quasi-Newton inversion

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通过响应模拟不断调整参数使仪器响应值与实测值逐渐吻合。反演过程就是不断调整模型参数的过程，可以表示为：

式中：k为迭代的次数；${{x}}$为最小二乘法求得的方程解。

式中：${{B}}$为利用拟牛顿法得到的Jacobian矩阵；${{b}}$为测量值与仪器响应模拟结果的差值；${{I}}$为单位矩阵；$\alpha$为熵权重系数；$\lambda$为阻尼因子。

反演过程中计算量最大的部分是Jacobian矩阵的计算，如果减少Jacobian矩阵的计算次数，则可以大大加快反演速度。采用拟牛顿法则只需要在反演过程开始计算一次Jacobian矩阵，在接下来的迭代反演过程中则只需要较少的计算量来更新得到新的Jacobian矩阵，因此大大缩短了反演时间，提高了反演速度，从而可以实现地质导向过程中的实时反演。

Broyden引入了一个满足拟牛顿条件方程的矩阵${{{B}}^{k + 1}}$：

注意，对于$M \times N$矩阵${{{B}}^{k + 1}}$，拟牛顿条件只能提供N个方程，不能唯一确定更新矩阵${{{U}}^k}$。由文献[28]可知，可以通过增加一个一阶矩阵来满足拟牛顿条件，即Broyden的改进型：

通过初始矩阵${{{B}}^0} = {{{J}}^0}$，利用式（8）来逐次逼近代替Jacobian矩阵。

对如图2所示的理论地层模型分别进行单界面和双界面反演。单界面地层模型的上下地层电阻率分别为1 Ω·m和10 Ω·m，仪器位于界面下方0.40 m处，分别采用牛顿法和拟牛顿法对2条电阻率曲线和2条定向电动势信号曲线进行反演，以反演出上、下地层电阻率和界面距离。设定的反演初始值相同（上地层电阻率为2 Ω·m，下地层电阻率为8 Ω·m，界面距离为1.00 m），最小误差度相同，反演结果见表1。由表1可知，在同样收敛条件下，拟牛顿法比普通牛顿法迭代次数更少，同时避免了每次迭代都计算Jacobian矩阵，因此反演时间大为缩短。

表  1  单界面反演结果

Table  1.  Inversion results of single interface model

反演 方法	上地层反演 电阻率/（Ω·m）	下地层反演 电阻率/（Ω·m）	界面距离/ m	迭代 次数
牛顿法	1.05	10.12	0.43	12
拟牛顿法	1.03	10.08	0.41	6

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双界面模型的地层电阻率分别为1，10和1 Ω·m，层厚6.00 m，逐点反演结果如图6所示。结果表明，界面附近反演结果的精度较高，远离界面时反演结果的精度降低，这是由于随着仪器远离界面，定向电动势信号变小，导致信噪比变差。反演结果验证了采用拟牛顿法反演单界面模型和双界面模型的正确性和可靠性。正演模拟表明，电阻率对比度小于10∶1时，双界面模型可以认为是2个单界面模型，在该模型中利用单界面模型和双界面模型的反演结果差别不大，因此单界面模型能满足大部分地质导向要求。

图  6  双界面反演结果示意

Figure  6.  Inversion results of double interfaces model

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3.   现场试验

随钻方位电磁波电阻率仪器研制成功后进行了多井次试验，分别测试了不同的性能指标。从仪器响应特点来看，方位电磁波电阻率边界探测信号适用于大斜度井或水平井中测量，并且要求仪器在测量过程中旋转。

草XX井为胜利油田的一口水平井，造斜段为910.00～1 260.00 m。在该井的900.00～1 300.00 m井段进行了随钻方位电磁波电阻率仪器现场试验，钻进过程中实时得到了自然伽马曲线、2条相位电阻率曲线和2个频率的定向电动势曲线（见图7），其中，1 005.00～1 017.40 m井段为草XX井的一个标志性地层，由邻井资料可知该地层电阻率约为5.8 Ω·m，厚度约为5.00 m，井斜角约为75°，上地层电阻率约为1.2 Ω·m，下地层电阻率约为1.8 Ω·m。

图  7  草XX井随钻伽马、电阻率及方位电磁波响应曲线

Figure  7.  LWD Gamma, Resistivity and azimuthal electromagnetic wave response curves in Well Cao-XX

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钻进过程中利用上文所述反演算法实时反演界面两侧的电阻率及其与界面的距离，正常钻井过程中不需要进行实时反演，只有钻至目的层界面附近或需要进行地质导向时才启动反演程序。钻至井深1 005.00 m附近时实时反演程序启动，钻进过程中逐点实时反演该层段随钻方位电阻率，反演采用单界面模型，实时反演得到测量点与界面的相对位置及其与界面的距离（见图8）。

图  8  草XX井界面距离实时反演示意

Figure  8.  Schematic map of the interface distance real time inversion in Well Cao-XX

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反演结果表明，测量点A距离上界面约1.60 m，测量点B距离下界面约0.40 m。对该井段进行方位电阻率成像，可以看出，仪器从上界面进入目的层，穿行14.00 m后从下界面穿出目的层；后期完井录井资料也验证了该结果的正确性。地质导向过程中实时反演界面距离，可以实时调整钻头钻进方向，使地质导向更加准确高效。

4.   结论与建议

1）随钻方位电磁波电阻率测量结果具备方位特性，利用其进行地质导向时，通过反演得到地层界面的方位及距离，判断和预测井眼与界面的相对位置。

2）采用拟牛顿法大大减少了反演过程中计算Jacobian矩阵的次数，加快了反演迭代收敛速度，反演结果满足随钻实时要求，通过理论模拟验证了基于拟牛顿法反演方法的有效性和准确性。

3）随钻方位电磁波电阻率实时反演主要采用单界面或双界面模型，进行地质导向时可实时反演得到界面距离，方位电阻率成像结果和后期完井录井资料验证了反演结果的准确性。建议进一步研究多界面模型反演方法和应用，提高复杂地层模型的适应性，并研究非旋转状态下的数据采集和处理方法。