Well Depth Measured with MWD Error Correction and Calculation of Borehole Position Uncertainty
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摘要:
深井和超深井钻井过程中井下温度高、井内钻具承受的拉力大，导致随钻测量的井深误差较大。为此，考虑不同井深处井内温度、热膨胀系数、钻具轴向力和钻具规格等因素的影响，在测点处对井内钻具分段，结合井下温度随钻测量结果和井内钻具受力分析结果，建立了随钻测量井深的热膨胀校正模型和弹性拉伸校正模型，以及计算热膨胀校正误差限和弹性拉伸校正误差限的模型，并给出了随钻测量井深热膨胀和弹性拉伸校正后的井眼位置不确定性计算方法。实例计算表明，超深井钻井过程中由热膨胀和弹性拉伸导致的井内钻具伸长量可达10 m以上；随钻测量井深进行热膨胀和弹性拉伸校正后，可以显著减小测点垂深误差和误差椭球的大小。研究结果为提高井深随钻测量精度与科学计算井眼位置不确定性提供了理论依据。
Abstract:When drilling deep and ultra-deep wells, the high downhole temperature and the large tensile force on the drilling tools in the well result in a large well depth error measured with measurement with drilling (MWD). Therefore, the influence of downhole temperature, thermal expansion coefficient, axial force of drilling tools, and specifications of drilling tools in different well depths was considered, and the drilling tools in the well were segmented at the measurement point. According to the results of the downhole temperature measured with MWD and the force analysis of drilling tools in the well, models of thermal expansion and elastic tension correction for the well depth measured with MWD were established. In addition, the models for the calculation of the error limits of the thermal expansion correction and the elastic tension correction, as well as the calculation method of wellbore position uncertainty after correcting thermal expansion and elastic tension errors of measured well depth with MWD were given. The example calculations demonstrate that during the drilling of ultra-deep wells, the elongation of drilling tools in the well caused by thermal expansion and elastic tension can reach more than 10 m. By correcting the thermal expansion and elastic tension of the measured depth with MWD, the vertical depth errors and the size of the error ellipsoid of the measurement points can be significantly reduced. The results provide a theoretical basis for improving the accuracy of well depth measured with MWD and scientific calculation of wellbore position uncertainty.
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井深、井斜角和方位角是确定井眼空间位置的3个基本参数。近年来，国内学者对磁性测斜仪测量井眼方位角的研究较多[1–6]；然而，相比于井斜角和方位角的测量，更难以实现的是精确测量井深。目前，井深主要通过入井管柱或电缆长度获得。为了提高井深测量精度，国外学者在测量方法、影响因素和误差校正等方面开展了大量研究。H. Wilson等人[7]介绍了井深测量的常用方法，提出接受所有井深测量结果为有效，但为每个测量结果分配不确定性，以协调使用这些方法，并指出需要考虑弹性拉伸来校正井深随钻测量结果。C. R. Chia等人[8]指出导致井深随钻测量误差的主要因素是弹性拉伸和热膨胀。B. K. Pedersen等人[9]介绍了挪威海克里斯汀油田改进随钻测井和电缆深度控制的操作程序和方法。H. Bolt[10]提出了司钻路标深度校正法，路标位于井眼几何形状发生重大变化的正上方、主要地质标记的正上方和特别感兴趣的区域的正上方。卿元华等人[11]结合塔里木油田钻探案例及其他油田的相关资料，分析了上部钻具的拉伸与下部钻具的压缩、钻具随井眼轨迹的弯曲、钻具热膨胀和钻柱内外承压差异等因素对钻具深度的影响，并指出导致测井深度误差的主要因素是电缆伸缩和测井速度 。郭骁等人[12]建立了数学模型，研究了井下温度和压力分布，基于有限元理论分别对温度和拉力、压力所造成的钻柱变形进行了计算，并以此为基础对测深误差进行了校正。导致井眼位置存在不确定性的因素有很多，如传感器相关误差、不对中误差和参考场相关误差等。国外从20世纪60年代开始研究井眼位置不确定性的计算方法，曾经广泛应用锥形误差模型、WdW模型、SESTEM模型和ISCWSA模型等计算模型，其中ISCWSA模型已被公认为是国际性行业标准[13]。
目前，井深随钻测量误差的校正方法以司钻路标深度校正法和有限元法为代表。然而，司钻路标深度校正法选择的路标较少，校正效果较差；有限元法计算过程较为复杂，不利于现场推广应用，而且未给出相应的井眼位置不定性计算模型。为此，笔者在测点处对井内钻具分段，建立了随钻测量井深的热膨胀校正模型和弹性拉伸校正模型，给出了随钻测量井深热膨胀和弹性拉伸校正后的井眼位置不确定性计算方法，并分析了热膨胀和弹性拉伸校正对井眼位置不确定性的影响。
1. 井深随钻测量的误差源分析
随钻测量井眼轨迹时，一般通过记录入井钻具的长度来获得井深。由于钻具入井后无法进行钻具长度测量，因此实际是通过计算入井所有钻具地面测量长度的和来确定井深。导致井深随钻测量结果与实钻井深有差异的因素有很多，可大致分为地面钻具长度测量误差、井深参考误差和井下钻具的变形。钻具长度的测量可以用卷尺手工完成，这种方法虽然不需要其他仪器，但是测量误差较大；也可以利用激光测量钻具长度，可以将测量误差控制在很小的范围内[14]。井深参考误差可分为随机参考误差和系统参考误差，陆上钻井的井深参考误差对井深测量误差的贡献较小[15]。井下钻具变形包括热膨胀、弹性拉伸、弹性压缩、弯曲和屈曲等[16]。测量井眼轨迹参数时，一般会活动钻具释放钻具应力，因此由钻具压缩、弯曲和屈曲导致的钻具长度变化量较小。综上所述，井下钻具的热膨胀和弹性拉伸是井深随钻测量的主要误差源；特别是深地钻井中，井下温度高，井内钻具承受的拉力大，如果不进行井深校正，将导致显著的井深随钻测量误差。
2. 热膨胀误差校正方法
井内钻具温度通常远高于测量钻具长度时的地面温度，因此由地面钻具长度来确定井深会存在热膨胀误差。一般来说，热膨胀效应主要取决于井下温度和钻具的热膨胀系数。井下温度不难获得，在随钻测量井眼轨迹参数的同时，井下探管也会检测井内温度。井下钻具由不同类型、规格和材料的钻具连接而成，井内钻具的热膨胀系数并不是一个固定值。因此，可以依据测点位置分段计算井内钻具的热膨胀伸长量。
金属管热膨胀伸长量的基本计算公式为[17]：
ΔLt=αΔtL (1) 式中：ΔLt为金属管热膨胀的伸长量，m；α为材料的热膨胀系数，℃−1；Δt为温度的变化量，℃；L为金属管的长度，m。
如果有n个测点，根据我国钻井行业标准对测斜计算数据的规定[18–19]，井眼轨迹可以分为n段。因此，井内钻具也可以分为n段（见图1）。假设相邻测点之间的温度变化为线性，根据式（1），井内钻具热膨胀的伸长量可表示为：
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图 1 测点编号与井内钻具分段编号Figure 1. Numbers of survey points and drilling tool sections in a wellΔLT=n∑i=1[αi(ti+ti−12−t0)(LMD,i−LMD,i−1)] (2) 式中：ΔLT为井内钻具热膨胀的伸长量，m；αi为第i段钻具的热膨胀系数，℃−1；ti和ti−1分别为第i测点和第i–1测点的井内温度，℃；LMD,i和LMD,i−1分别为第i测点和第i−1测点井深的随钻测量值，m；t0为地表温度，℃。需要说明的是，LMD,0等于零。
3. 弹性拉伸误差校正方法
根据弹性模量的定义，材料弹性拉伸的伸长量可表示为[20]：
ΔLs=FLγS (3) 式中：ΔLs为材料弹性拉伸的伸长量，m；F为拉力，N；γ为弹性材料的弹性模量，Pa；S为弹性材料的横截面积，m2。
由式（3）可知，计算井内钻具弹性拉伸伸长量的关键是计算钻具承受的拉力。对井内钻具进行受力分析，确定中性点位置和井内钻具的拉力分布。假设中性点以上随钻测量点的个数为m，那么可以将中性点以上的钻具分为m段。根据式（3），第j段钻具弹性拉伸的伸长量可表示为：
ΔLs,j=∫LMD,j−LMD,j−10Fj(L)−F0γjSjdL (4) 式中：ΔLs,j为第j段钻具弹性拉伸的伸长量，m；Fj(L)为第j段钻具承受的拉力，是与井深有关的函数；F0为地面测量钻具长度时钻具承受的拉力，一般为零，N；γj为第j段钻具的弹性模量，Pa；Sj为第j段钻具的横截面积，m2。
假设Fj(L)为线性函数，那么式（4）可简化为：
ΔLs,j=(Fj+Fj−1)(LMD,j−LMD,j−1)2γjSj (5) 式中：Fj和Fj–1分别为在钻具第j测点和第j–1测点处承受的拉力，N。
因此，井内钻具弹性拉伸的伸长量为：
ΔLs=m∑j=1(Fj+Fj−1)(LMD,j−LMD,j−1)2γjSj (6) 自从鲁宾斯基开展钻柱力学研究以来[21]，国内外学者针对井内管柱的受力问题开展了大量研究，取得了许多创新研究成果，并进行了现场应用。式（6）中所用钻具承受拉力的值源自油气井管柱摩阻和扭矩模型[22]对井内管柱轴向力的计算。
4. 井眼位置不确定性计算方法
目前，国内外广泛应用ISCWSA误差模型计算井眼位置的不确定性。ISCWSA MWD基础模型考虑了34个相互独立的误差源，其中22个误差源适用于不考虑MWD轴向磁干扰校正的工况，20个误差源适用于考虑MWD轴向磁干扰校正的工况[23]。井下各测点的位置不确定性可以用误差椭球表示，并根据协方差矩阵的特征值和特征向量来确定误差椭球的3个半轴长和方向。因此，计算井眼位置不确定性的关键是确定各测点位置不确定性的协方差矩阵。
ISCWSA MWD基础模型中，拉伸型井深误差即是井内钻具热膨胀和弹性拉伸导致的误差。井深测量结果经过热膨胀和弹性拉伸校正后，拉伸型井深误差将会减小，但无法消除。由式（2）可知，导致热膨胀校正误差的误差源包括井下温度测量误差、地面温度测量误差、热膨胀系数误差和钻具长度地面测量误差。热膨胀校正的误差限可表示为：
σT=n∑i=1{αi(1+ea)[(ti+ti−1)(1+et)2−t0(1−ec)]⋅(LMD,i−LMD,i−1)(1+eL)−αi(ti+ti−12−t0)⋅(LMD,i−LMD,i−1)} (7) 式中：σT为热膨胀校正的误差限，m；ea, eT, ec和eL分别为热膨胀系数、井下温度、地面温度和钻具长度的相对误差。
根据ISCWSA MWD基础模型，K测点的位置误差是第1测点至第K测点所有矢量误差的总和。因此，热膨胀校正误差对K测点位置不确定性协方差矩阵的贡献可表示为：
\boldsymbol{C}_{\mathrm{T},K}=\sum_{k=1}^K\left(\sigma_{\mathrm{T},k}\frac{\mathrm{d}\Delta\boldsymbol{r}_k}{\mathrm{d}\boldsymbol{p}_k}\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\right)\cdot\left(\sigma_{\mathrm{T},k}\frac{\mathrm{d}\Delta\boldsymbol{r}_k}{\mathrm{d}\boldsymbol{p}_k}\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\right)^{\mathrm{^T}} (8) 式中：CT,K为热膨胀校正误差对K测点位置不确定性协方差矩阵的贡献矩阵；σT,k为第k个测点处热膨胀校正的误差限，m；drk/dpk表示在大地坐标系NEH中井深、井斜角和方位角的测量误差对第k个井段位置的影响。
同样地，由式（6）可知，导致弹性拉伸校正误差的误差源包括井内钻具轴向力计算误差、弹性模量误差、钻具横截面测量误差和钻具长度地面测量误差。弹性拉伸校正的误差限可表示为：
\begin{split} &{\sigma }_{\mathrm{s}}=\\ &\sum _{j=1}^{m}\left\{\frac{\left({F}_{j}+{F}_{j-1}\right)\left(1+{e}_{\mathrm{F}}\right)\left({L}_{\mathrm{M}\mathrm{D},j}-{L}_{\mathrm{M}\mathrm{D},j-1}\right)\left(1+{e}_{\mathrm{L}}\right)}{{2\gamma }_{j}\left(1-{e}_{\mathrm{\gamma }}\right){S}_{j}\left(1-{e}_{\mathrm{S}}\right)}-\right.\\ &\left.\frac{\left({F}_{j}+{F}_{j-1}\right)\left({L}_{\mathrm{M}\mathrm{D},j}-{L}_{\mathrm{M}\mathrm{D},j-1}\right)}{{2\gamma }_{j}{S}_{j}}\right\} \\[-1pt] \end{split} (9) 式中：σs为弹性拉伸校正的误差限，m；eF，eγ和eS分别为钻具轴向力、钻具弹性模量和钻具横截面积的相对误差。
弹性拉伸校正误差对K测点位置不确定性协方差矩阵的贡献可表示为：
\boldsymbol{C}_{\mathrm{s},K}=\sum_{k=1}^K\left(\sigma_{\mathrm{s},k}\frac{\mathrm{d}\Delta\boldsymbol{r}_k}{\mathrm{d}\boldsymbol{p}_k}\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\right)\cdot\left(\sigma_{\mathrm{s},k}\frac{\mathrm{d}\Delta\boldsymbol{r}_k}{\mathrm{d}\boldsymbol{p}_k}\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\right)^{\mathrm{T}} (10) 式中：Cs,K为弹性拉伸校正误差对K测点位置不确定性协方差矩阵的贡献矩阵；σs,k为第k个测点处的弹性拉伸校正误差限，m。
经过热膨胀校正和弹性拉伸校正后，K位置不确定性协方差矩阵可表示为：
\boldsymbol{C}_{\mathit{K}}=\boldsymbol{C}_{\mathrm{T},\mathit{\mathit{K}}}+\boldsymbol{\mathit{\mathbf{C}}}_{\mathrm{s},\mathit{K}}+\boldsymbol{C}_{\mathrm{e},\mathit{K}} (11) 式中：CK为K测点位置不确定性协方差矩阵；Ce,K为不考虑拉伸型井深误差源时由ISCWSA误差模型得到的K测点位置不确定性协方差矩阵。
5. 实例计算
某超深井进行最后一趟钻的钻具组合为：ϕ143.9 mm PDC钻头+ϕ120.0 mm螺杆+ ϕ 120.0 mm无磁钻铤+ϕ120.0 mm无磁短节+ϕ127.0 mm浮阀+ϕ88.9 mm加重钻杆×1根+ϕ88.9 mm钻杆×60根+ϕ88.9 mm加重钻杆×45根+ϕ88.9 mm钻杆+接头+ϕ114.3 mm钻杆。该井井眼轨迹参数的部分数据见表1，井口处的地磁场强度为54.617 μT，地磁倾角为60.38°，地磁偏角为3.05°。测斜得到的井内温度随井深的变化曲线如图2所示，温度测量误差为2%；最后一次测斜时，井内钻具承受的轴向力随井深的变化曲线如图3所示。
表 1 井眼轨迹参数的部分数据Table 1. Partial data of wellbore trajectory parameters井深/m 井斜角/(°) 方位角/(°) 垂深/m 北坐标/m 东坐标/m 0 0 0 0 0 0 7 900.00 0 0 7 900.00 0 0 7 905.00 1.33 110.92 7 905.00 −0.02 0.05 7 920.00 5.33 110.92 7 919.97 −0.33 0.87 7 950.00 13.33 110.92 7 949.55 −2.07 5.41 7 980.00 21.33 110.92 7 978.16 −5.26 13.75 8 010.00 29.33 110.92 8 005.26 −9.84 25.73 8 040.00 37.33 110.92 8 030.30 −15.72 41.12 8 070.00 45.33 110.92 8 052.81 −22.79 59.61 8 100.00 53.33 110.92 8 072.34 −30.90 80.85 8 130.00 61.33 110.92 8 088.52 −39.91 104.42 8 160.00 69.33 110.92 8 101.04 −49.64 129.86 8 179.12 74.43 110.92 8 106.98 −56.13 146.83 \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots 8 454.91 74.43 110.92 8 181.01 −150.99 394.99 ![]()
图 3 井内钻具承受的轴向力随井深的变化曲线Figure 3. Variation of axial force on the drilling tool in a well with well depth为易于计算，假设井内钻具的热膨胀系数为7.2×10−6 ℃−1，误差为5%；弹性模量为200 GPa，误差为5%；钻具参数见表2，其中长度的测量误差为0.12%，外径和内径的测量误差为0.10%。
表 2 钻具参数Table 2. Parameters of drilling tools钻具 长度/m 外径/mm 内径/mm PDC钻头 0.30 149.3 螺杆 9.20 120.0 44.50 无磁钻铤 9.00 120.0 63.50 无磁短节 1.00 120.0 63.50 浮阀 0.40 127.0 50.80 加重钻杆 10.00 88.9 52.40 ϕ88.9 mm钻杆 10.00 88.9 70.21 ϕ114.3 mm钻杆 10.00 114.3 97.18 将以上参数代入式（2）和式（7），可求得井内钻具热膨胀的伸长量为4.52 m，热膨胀校正误差限为0.34 m。同样地，将以上参数代入式（6）和式（9），可求得井内钻具弹性拉伸的伸长量为14.73 m，弹性拉伸校正误差限为1.77 m。计算结果表明，超深井钻井施工时，相比井内钻具的热膨胀，弹性拉伸会导致更显著的井深测量误差。因此，超深井钻井施工时，应首先对随钻测量井深进行弹性拉伸校正。
结合ISCWSA MWD基础模型，将热膨胀校正误差限和弹性拉伸校正误差限的计算结果代入式（11），并取置信因子为2.0，可求得最后一个测点的误差椭球。以测点位置为原点，井眼高边方向为h轴，井眼侧向为l轴，井眼延伸方向为w轴，建立hlw直角坐标系。hlw坐标系与大地坐标系NEH之间的变换方法可参考文献[23]，在此不再赘述。在hlw坐标系中，最后一个测点的误差椭球如图4所示。
然而，如果不进行热膨胀和弹性拉伸校正，那么最后一个测点的误差椭球如图5所示。结果对比表明，经过热膨胀和弹性拉伸校正后，不仅最后一个测点的井眼高边方向误差显著减小，而且最后一个测点误差椭球的体积减小了71.0%。
6. 结论与建议
1）以随钻测量时的测点为依据对井内钻具分段，建立了随钻测量井深的热膨胀校正模型和弹性拉伸校正模型。相比目前常用的井深随钻测量误差校正方法，该模型考虑了不同井深处井内温度、热膨胀系数、钻具轴向力和钻具规格等因素的影响，不仅可以提高井深测量精度，而且有利于现场推广应用。
2）建立了随钻测量井深热膨胀校正误差限和弹性拉伸校正误差限的计算模型，给出了随钻测量井深热膨胀和弹性拉伸校正后的井眼位置不确定性计算方法。与ISCWSA模型相比，该方法可以计算经过随钻测量井深热膨胀和弹性拉伸校正后的井眼位置不确定性。
3）随钻测量井深经过热膨胀和弹性拉伸校正后，可以显著减小深井和超深井井深的随钻测量误差和井眼位置不确定性。为进一步提高井深随钻测量误差的校正效果和井眼位置的测量精度，建议继续深入研究针对井下钻具热膨胀系数和轴向力的精确确定方法和其他误差源的校正方法。
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图 1 测点编号与井内钻具分段编号
Figure 1. Numbers of survey points and drilling tool sections in a well
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图 3 井内钻具承受的轴向力随井深的变化曲线
Figure 3. Variation of axial force on the drilling tool in a well with well depth
表 1 井眼轨迹参数的部分数据
Table 1 Partial data of wellbore trajectory parameters
井深/m 井斜角/(°) 方位角/(°) 垂深/m 北坐标/m 东坐标/m 0 0 0 0 0 0 7 900.00 0 0 7 900.00 0 0 7 905.00 1.33 110.92 7 905.00 −0.02 0.05 7 920.00 5.33 110.92 7 919.97 −0.33 0.87 7 950.00 13.33 110.92 7 949.55 −2.07 5.41 7 980.00 21.33 110.92 7 978.16 −5.26 13.75 8 010.00 29.33 110.92 8 005.26 −9.84 25.73 8 040.00 37.33 110.92 8 030.30 −15.72 41.12 8 070.00 45.33 110.92 8 052.81 −22.79 59.61 8 100.00 53.33 110.92 8 072.34 −30.90 80.85 8 130.00 61.33 110.92 8 088.52 −39.91 104.42 8 160.00 69.33 110.92 8 101.04 −49.64 129.86 8 179.12 74.43 110.92 8 106.98 −56.13 146.83 \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots 8 454.91 74.43 110.92 8 181.01 −150.99 394.99 
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表 2 钻具参数
Table 2 Parameters of drilling tools
钻具 长度/m 外径/mm 内径/mm PDC钻头 0.30 149.3 螺杆 9.20 120.0 44.50 无磁钻铤 9.00 120.0 63.50 无磁短节 1.00 120.0 63.50 浮阀 0.40 127.0 50.80 加重钻杆 10.00 88.9 52.40 ϕ88.9 mm钻杆 10.00 88.9 70.21 ϕ114.3 mm钻杆 10.00 114.3 97.18
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