Numerical Integral Calculation in Borehole Trajectory Model
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摘要:
为了提高钻井设计软件中所使用定积分的计算速度，从井眼轨道模型的基本公式出发，经过积分参数变换，将恒工具面法北东坐标定积分中的被积函数需要7次三角函数和1次对数函数的运算减少为3次三角函数和1次对数函数的运算，将空间圆弧法水平投影长度定积分的被积函数中的三角函数运算简化掉，从而提高定积分的计算速度；使用变步长Simpson数值积分公式，计算恒工具面法北东坐标定积分和空间圆弧法水平投影长度定积分，可将计算精度控制到任意精度。算例计算表明，本文算法除了提高了计算速度，计算精度还与公开数据完全相同。本文给出的算法是对井眼轨道计算的进一步改进和完善，可应用于钻井软件开发中。
Abstract:In order to improve calculation speed of the definite integrals in the drilling design software, the basic formula of the borehole trajectory model and the integral parameter conversion were adopted. The calculation of seven trigonometric and one logarithmic functions was reduced to that of three trigonometric and one logarithmic functions required by the integrand of the definite integral in the north and east coordinates by the constant tool face method. The trigonometric functions in the integrand of the definite integral with a horizontal projection length by the space arc method were simplified, so as to improve the calculation speed of the definite integral. Using the variable step size Simpson numerical integration formula to calculate the above two kinds of definite integrals, the calculation accuracy can be controlled to arbitrary precision. The calculation shows that the new algorithm in this paper not only improves the calculation speed but also has the same calculation accuracy as the public data. The algorithm given in this paper is further improves and refines of the borehole trajectory calculation and can be applied in the software development of drilling.
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定向井和水平井广泛采用无线随钻测斜仪监测井眼轨迹，但大多数无线随钻测斜仪是磁性测斜仪，其原理是利用井下仪器中的3个重力加速度计和3个磁通门分别测量重力分量和磁通密度分量，计算得到井斜角和方位角等井眼轨迹参数[1]。由于钻井过程中使用的钻杆、钻铤等均为铁磁材料，铁磁材料被外界磁场磁化后会产生感应磁场，使其周围地磁场发生变化，导致磁性随钻测斜仪测量的地磁场分量失真，计算的方位角出现偏差，影响正常定向施工[2]。为避免铁磁钻具对磁性随钻测斜仪产生干扰，需要将其放置在无磁钻具中，但截至目前针对无磁钻具长度选取的理论研究较少。M. K. Russell等人[3-5]研究认为，当无磁钻具长度大于3.05 m时，铁磁钻具被磁化后产生的感应磁场在径向上对仪器的干扰可以忽略不计。韩志勇等人[6-9]将铁磁钻具用一个集中当量代替，并假设磁性随钻测斜仪上下两端铁磁钻具的磁极强度，根据两端铁磁钻具对测量仪器作用力之和最小，计算出磁性随钻测斜仪处于无磁钻具中的位置。无磁钻具选取过长，会增加钻井成本，也会导致仪器测量点距离钻头较远，给井眼轨迹预测带来一定难度；无磁钻具选取过短，则不能有效避免磁干扰。针对上述问题，笔者利用ANSYS有限元软件，模拟研究了磁性随钻测斜仪所需无磁钻具的长度，分析了井斜角、方位角、铁磁钻具壁厚和长度等因素对无磁钻具临界长度的影响，为现场施工时磁性随钻测斜仪所需无磁钻具长度的优选提供了理论依据和参考。
1. 铁磁钻具磁干扰模型的建立
1.1 钻具几何模型
现场施工过程中，无磁钻具的上下两端均接有铁磁钻具，钻具整体上是以无磁钻具为中心上下对称。因此，建立钻具几何模型时，将一定长度的钻具置于以空气为介质的均匀磁场中，只考虑上端或下端铁磁钻具的影响，如图1所示。
1.2 ANSYS有限元模型
ANSYS有限元软件的模拟分析包括建立分析模型、定义材料属性、划分网格、施加边界条件、求解计算和结果分析等[10-12]。需要建立的三维模型包括钻具和空气区域2部分[13]（见图2）。空气区域模型用于在钻具外部形成均匀强磁场环境，即模拟井下均匀的地磁场。
采用磁标量法分析该三维模型时，选用SOLID96单元，该单元为8节点六面体，自由度只有标量磁位（MAG）。磁标量法中，外加磁场激励和边界条件均用标量磁位来表示，当标量磁位不为零时，表示有外加磁场[14]。采用该方法在模型上添加约束边界条件，同时建立三维均匀强磁场。计算后，利用ANSYS有限元软件中的后处理器，建立沿钻具轴向的路径，并将计算结果转换到磁性随钻测斜仪的三磁通门坐标系中进行对比分析，得到该条件下所需的无磁钻具临界长度。
利用ANSYS有限元软件进行模拟时，不考虑钻具接头的影响，也不考虑方位修正角，方位角为钻具与磁力线之间的夹角。模拟过程中，保持钻具倾角（即井斜角）不变，选取不同方位角进行模拟；或保持方位角不变，选取不同钻具倾角（即井斜角）进行模拟，计算得到不同条件下磁通密度的3个分量，通过对比分析得到铁磁钻具被磁化后沿轴向的最大影响值，该值的2倍即为该条件下所需无磁钻具的临界长度。
模拟时，选取现场经常使用的ϕ139.7 mm普通铁磁钻杆、ϕ177.8 mm普通铁磁钻铤和ϕ203.2 mm普通磁铁钻铤。井斜角选取具有代表性的0°，30°，60°和90°，方位角选取具有代表性的0°，30°，60°和90°。空气的磁导率
μ0=4π×10−7H/m ；无磁钻具的相对磁导率μw=1 ；铁磁钻具的长度为3～20 m，相对磁导率μr=300 ；施加均匀磁场的磁倾角为0°，磁通密度B=50.0 μT。2. 无磁钻具长度优化与影响因素分析
2.1 无磁钻具长度优化
由于地磁场的磁通密度是矢量[15-18]，既有大小又有方向，因此判断是否存在干扰时，必须从这2个方面进行分析。磁性随钻测斜仪的3个磁通门传感器放置在3个相互正交的坐标系中，判断是否存在磁干扰时，必须分析测得3个磁通密度分量的和是否与地磁场磁通密度相同。
ANSYS有限元软件模拟过程中，由于3个坐标轴的方向固定，只需要确定3个磁通密度分量是否稳定唯一，就可以判断是否存在磁干扰。以井斜角30°、方位角60°为例，得到3个磁通密度分量
Bx ，By 和Bz 沿钻具轴向的变化曲线（见图3，图中的横坐标为无磁钻具的某一点距铁磁钻具与无磁钻具连接点的长度）。![]()
图 3 磁通密度分量沿钻具轴向的变化Figure 3. Magnetic flux density component variation along the axial direction of drilling tool由图3可知：无磁钻具与铁磁钻具的距离小于1.00 m时，3个磁通密度分量变化剧烈，且没有规律性；与铁磁钻具的距离为1～4 m时，磁通密度径向分量Bx由40.01 μT逐渐增至42.99 μT，磁通密度径向分量By由14.17 μT逐渐减至12.57 μT，磁通密度轴向分量Bz由−25.09 μT逐渐增至−21.74 μT；与铁磁钻具的距离大于4 m时，3个磁通密度分量保持不变。因此，在该条件下，铁磁钻具沿轴向的最大影响范围为4 m。由于无磁钻具上下两端均接有铁磁钻具，故磁性随钻测斜仪所需无磁钻具的临界长度为8 m。如果3个磁通密度分量稳定到某一值所需要的无磁钻具长度不一致，则取最大值作为铁磁钻具产生轴向磁干扰的范围。
2.2 无磁钻具长度影响因素分析
2.2.1 井斜角
保持方位角不变，计算不同井斜角条件下的3个磁通密度分量，分析井斜角对无磁钻具临界长度的影响，得到不同井斜角条件下的无磁钻具临界长度（见图4）。
由图4可知，磁性随钻测斜仪所需无磁钻具的临界长度为6～8 m，且没有随着井斜角变化而发生明显变化。根据现场施工经验，铁磁钻具对方位角测量误差的影响随着井斜角增大而增大，井斜角越大，所需的无磁钻具越长，但ANSYS有限元软件的模拟结果并没有体现这一规律。
2.2.2 方位角
保持井斜角不变，分别计算不同方位角条件下的3个磁通密度分量，分析方位角变化对无磁钻具临界长度的影响，得到不同方位角条件下无磁钻具的临界长度（见图5）。
由图5可知，磁性随钻测斜仪所需无磁钻具的临界长度为6～8 m，且未随着方位角的变化发生明显变化。根据现场施工经验，不同方位角条件下铁磁钻具对方位角测量误差的影响不同，井眼轨迹方位越靠近南北方向（即方位角为0°或180°），铁磁钻具对磁性测斜仪的影响越小；井眼轨迹方位越靠近东西方向（即方位角为90°或270°），铁磁钻具对磁性测斜仪的影响越大。但是，ANSYS有限元软件的模拟结果并没有体现这一规律。
2.2.3 铁磁钻具壁厚
选取现场施工时经常使用的3种铁磁钻具，钻具1为ϕ139.7 mm铁磁钻杆（壁厚25.4 mm），钻具2为ϕ177.8 mm铁磁钻铤（壁厚53.2 mm），钻具3为ϕ203.2 mm铁磁钻铤（壁厚65.8 mm），并选取不同井斜角和方位角，模拟分析铁磁钻具壁厚对无磁钻具临界长度的影响，结果如图6所示。
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图 6 铁磁钻具壁厚对临界长度的影响Figure 6. Influence of the thickness of the ferromagnetic drilling tool on critical length由图6可知，随着铁磁钻具壁厚增大，磁性随钻测斜仪所需无磁钻具的临界长度增大，即铁磁钻具壁厚增大，其产生的磁干扰范围也扩大。
2.2.4 铁磁钻具长度
现场施工过程中，无磁钻具上端承接的铁磁钻具长度达几千米，其下端挂接的铁磁钻具长度也接近20 m。为了进一步模拟分析铁磁钻具长度对磁性随钻测斜仪所需无磁钻具临界长度的影响，选取井斜角为30°、方位角为30°，铁磁钻具分别为ϕ139.7 mm钻杆、ϕ177.8 mm钻铤和ϕ203.2 mm钻铤，其长度为3～20 m，模拟结果如图7所示。
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图 7 铁磁钻具长度对临界长度的影响Figure 7. Influence of the length of ferromagnetic drilling tool on critical length由图7可知，随着铁磁钻具长度增大，其轴向磁干扰影响范围也在增大。铁磁钻具长度由3 m增至13 m时，磁性随钻测斜仪所需无磁钻具的临界长度迅速增大；铁磁钻具长度大于13 m时，无磁钻具的临界长度基本不变。这说明铁磁钻具的轴向磁干扰影响范围并未随其长度增加而增大，3种铁磁钻具沿轴向的最大影响范围分别为3.25，5.25和6.50 m，即3种铁磁钻具条件下磁性随钻测斜仪所需无磁钻具的临界长度分别为6.50，10.50和13.00 m。
3. 无磁钻具长度模拟结果分析
模拟分析结果表明，井斜角、方位角与所需无磁钻具的临界长度不存在明显的相关关系。这种现象与现场施工经验相矛盾，为此进行了探讨分析。
根据现场施工经验，当井眼轨迹方位角为90°或者270°时，测量得到方位角的准确度降低。同时，随着井斜角增大，方位角的偏差增大，因此需要增大无磁钻具长度，减小方位角偏差。磁性随钻测斜仪的测量原理是，通过安装在其内部的重力加速度计和磁通门传感器测得重力加速度分量
gx ，gy ，gz 和磁通密度分量Bx ，By ，Bz ，其中x 轴和y 轴为钻具的径向，z 轴为钻具的轴向。利用上述6个分量及其之间的几何关系，得到方位角计算公式：tanφ=−(Bxsinϕ+Bycosϕ)cosα(Bxcosϕ−Bysinϕ)+(Bz+Bm)sinα (1) 式中：α为井斜角，（°）；φ为方位角，（°）；ϕ为高边工具面角，（°）；Bm为干扰磁场轴向磁通密度，μT。
在没有任何磁干扰的情况下，
Bm 为0。当井眼轨迹方位角为90°或270°时，井眼轨迹方向与地磁场的磁力线基本处于垂直状态，因此钻具轴向磁通门传感器测得磁通密度轴向分量Bz 非常小，当其受到较小干扰时，即会对方位角产生较大影响。同时，从式（1）可以看出，因为磁通密度轴向分量Bz 与井斜角的正弦值相乘，当井斜角增大时，其正弦值也增大，导致磁通密度轴向分量Bz 的影响增大，如果此时存在干扰磁场，则干扰磁场轴向磁通密度Bm 对方位角产生的影响增大。因此，这种分析结果与现场施工经验基本一致。为了更加直观地解释这种现象，通过构造模拟数据分析上述情况。现场施工过程中，钻具长达几千米，而钻具的内外径尺寸相对较小，因此可认为钻具是轴线对称。同时，磁性随钻测斜仪器放置在无磁钻具中，上下两端铁磁钻具相对于仪器中的测量传感器距离较远，所以可认为上下两端铁磁钻具造成的干扰磁场是沿钻具轴线方向。因此，在模拟磁干扰时，可以忽略径向磁干扰，只考虑轴向磁干扰的影响，即所测磁通密度径向分量是准确的。取干扰磁场轴向磁通密度
Bm = 10.0 μT，大地磁场磁通密度B= 53.0 μT，磁倾角为55°，计算不同井斜角、方位角下的方位角偏差，结果如图8所示。![]()
图 8 方位角偏差随井斜角、方位角变化的规律Figure 8. Variation law for deviation of azimuth angle with well inclination angle and azimuth angle图8中的方位角偏差为实测方位角减去真实方位角，可见在存在轴向磁干扰的条件下，取某一真实方位角，计算不同井斜角下的方位角偏差，发现方位角偏差随着井斜角增大而增大。在同一井斜角条件下，真实方位角为0°～180°时，方位角偏差为负值，即真实方位角大于实测方位角，方位角偏差先增大后减小；真实方位角为100°左右时，方位角偏差达到最大；真实方位角为180°～360°时，方位角偏差为正值，即真实方位角小于实测方位角，方位角偏差先增大后减小；真实方位角为260°时，方位角偏差达到最大。
上述模拟结果表明，当干扰磁场轴向磁通密度不变时，模拟结果与现场施工经验一致，但出现这种情况的前提条件是干扰磁场轴向磁通密度不变，此时方位角偏差随井斜角、方位角变化而变化。即磁通密度轴向分量越小，干扰磁场不变情况下产生的影响越大，通过测量数据计算得到的方位角偏差越大；井斜角越大，干扰磁场不变情况下产生的影响越大，通过测量数据计算得到的方位角偏差也越大。但在ANSYS有限元软件模拟过程中，铁磁钻具所产生感应磁场的影响范围随其与无磁钻具距离增大而减小，当两者距离大于4 m以后，感应磁场的影响基本可以忽略，即
Bm 为0，因此未表现出与现场施工经验相似的规律。4. 现场实例分析
桩海26-斜X井是胜利油田部署的一口探井，设计井斜角26°，方位角99°，完钻井深4 280.00 m。由于设计方位角基本接近东西方向，依据现场施工经验，需要较长无磁钻具为磁性随钻测斜仪提供足够的无磁环境，尽可能减少干扰以提高方位角测量精度。因此，二开ϕ241.3 mm井段施工过程中，采用钻头+动力钻具+浮阀+无磁钻铤×9.32 m+无磁悬挂器×4.50 m+无磁承压钻杆×9.45 m+加重钻杆的钻具组合，磁性随钻测斜仪放置在无磁悬挂器中，仪器测点距离下端浮阀10.82 m，距离上端加重钻杆12.45 m。二开中完井深3 709.00 m，中完前100.00 m井段采用复合钻进方式，并未进行定向施工，最后5组测斜数据见表1。从表1可以看出，复合钻进时井斜角和方位角均减小。
表 1 二开中完最后5组测斜结果Table 1. Inclination survey data at the last five points during the second section测深/m 井斜角/（°） 方位角/（°） 3 632.52
3 642.18
3 651.81
3 661.47
3 690.1624.30
24.30
24.10
24.10
24.00104.10
103.90
103.90
103.70
103.05三开ϕ152.4 mm井段施工过程中，由于井眼尺寸变小，故更换测斜仪，钻具组合为钻头+动力钻具+浮阀+无磁钻铤×9.12 m+无磁悬挂器×0.50 m+普通钻铤，仪器测点距离下端浮阀4.00 m，距离上端普通钻铤5.62 m。下钻到底复合钻进至井深3 743.81 m，测点3 730.83 m处的井斜角为22.99°、方位角为101.43°，仪器测点距离套管20.17 m，所测轨迹参数与设计基本一致，故认为测量得到的轨迹参数准确。同时，井斜角和方位角均减小，符合井眼轨迹预测趋势。三开钻至井深3 974.00 m时，随钻测斜仪出现问题，无法查出原因，更换另一种随钻测斜仪，钻具组合未改变，测点略有不同，下钻到底复测，井斜角和方位角与上一趟钻所测结果一致。
对比该井的施工数据发现，虽然方位角基本接近东西向，但二开采用足够长无磁钻具所测井眼轨迹参数与三开采用较短无磁钻具所测结果基本一致。同时，三开随钻测量仪器的无磁环境为9.62 m，与ANSYS有限元软件模拟得到的理论结果基本一致。但是，由于仅分析了一口井的测量数据，并不能完全验证模拟结果，还需大量实测数据的验证。
5. 结论与建议
1）ANSYS软件模拟结果表明，磁性随钻测斜仪所需无磁钻具的长度与井斜角和方位角没有明显的相关关系。当干扰磁场不变时，模拟结果与现场施工得出的结论一致。
2）随着铁磁钻具长度增大，其轴向磁干扰范围增大，达到某一值后基本保持不变，该值的2倍即为磁性随钻测斜仪所需无磁钻具的临界长度。
3）现场实例数据分析表明，磁性随钻测斜仪所需无磁钻具长度的影响因素与施工经验得出的结论并不一致，与ANSYS软件模拟结果基本一致。
4）现场施工过程中，建议根据不同钻具组合选择无磁钻具的长度，尽可能缩短仪器测点到钻头的距离，提高井眼轨迹的预测精度，同时降低无磁钻具的使用成本。
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表 1 主要数学函数的计算速度
Table 1 Calculation speed of major mathematical functions
测试序号 运算1亿次的用时/ms 余弦函数 正弦函数 对数函数 乘法 1 4 964 4 521 3 139 282 2 4 960 4 527 3 121 284 3 4 953 4 507 3 135 282 4 4 953 4 505 3 137 282 5 4 975 4 539 3 147 285 6 4 966 4 538 3 142 285 7 4 981 4 542 3 145 285 8 4 970 4 530 3 144 289 9 4 969 4 538 3 142 286 10 4 961 4 522 3 135 287 平均 4965 4527 3139 285 
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表 2 恒工具面模型井眼轨道参数
Table 2 Borehole trajectory parameters in constant tool face model
ΔL/m α/（°） ϕ/（°） ΔN/m ΔE/m ΔH/m ΔS/m 0 30.00 135.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10 33.06 130.08 −3.53 3.86 8.52 5.23 20 36.13 125.55 −7.00 8.34 16.75 10.91 30 39.19 121.34 −10.37 13.44 24.67 17.02 40 42.26 117.40 −13.56 19.13 32.25 23.54 50 45.32 113.68 −16.54 25.37 39.46 30.46 60 48.39 110.15 −19.26 32.14 46.30 37.75 *60 48.3851 110.1535 −19.2585 32.1413 46.3024 37.7532 70 51.45 106.79 −21.68 39.40 52.74 45.40 80 54.51 103.57 −23.77 47.10 58.76 53.39 90 57.58 100.47 −25.49 55.21 64.35 61.68 100 60.64 97.47 −26.83 63.69 69.48 70.26
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表 3 空间圆弧模型井眼轨道参数
Table 3 Borehole trajectory parameters in space arc model
ΔL/m α/（°） ϕ/（°） ΔN/m ΔE/m ΔH/m ΔS/m 0 40.00 60.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10 42.41 56.51 3.47 5.60 7.52 6.59 20 44.92 53.32 7.44 11.24 14.76 13.49 30 47.51 50.41 11.90 16.92 21.68 20.71 40 50.17 47.74 16.83 22.60 28.26 28.23 50 52.88 45.27 22.22 28.28 34.48 36.06 60 55.64 42.96 28.05 33.92 40.32 44.18 *60 55.6400 42.9644 28.0498 33.9239 40.3234 44.1769 70 58.44 40.81 34.30 39.52 45.76 52.57 80 61.28 38.78 40.94 45.06 50.78 61.21 90 64.14 36.87 47.96 50.50 55.37 70.10 100 67.03 35.04 55.33 55.85 59.50 79.20
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