Study on Propagation and Diversion Characteristics of Hydraulic Fractures in Vuggy Carbonate Reservoirs
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摘要:
针对孔洞型碳酸盐岩储层改造产生的水力裂缝扩展规律复杂、不一定沿预设路径扩展的问题，基于碳酸盐岩储层孔洞体特征，制备了含孔洞体的碳酸盐岩试样；利用真三轴水力压裂试验结果，分析了不同水平主应力差异下孔洞体对水力裂缝扩展的干扰作用；并利用扩展有限元数值方法，分析了影响孔洞型碳酸盐岩储层水力裂缝扩展及扩展路径的因素。研究结果表明，水平主应力差异系数不大于0.15时，水力裂缝遇到孔洞体后产生非平面扩展，且水平主应力差越小，转向扩展距离越大，裂缝形态越复杂；水平主应力差异系数大于0.15、小于0.36时，水力裂缝会克服孔洞体的应力集中进行平面扩展，但遇到孔洞体后会被孔洞体捕捉，无法穿过孔洞体继续扩展；水平主应力差异系数不小于0.36时，水力裂缝会克服孔洞体的应力集中进行平面扩展，且遇到孔洞体后会直接穿过孔洞体继续扩展；随着水平主应力差增大，破裂压力逐渐降低。研究结果可为孔洞型碳酸盐岩储层压裂设计提供指导。
Abstract:Hydraulic fractures generated in the stimulation of vuggy carbonate reservoirs feature complex propagation as they do not necessarily propagate along the prospected path. In view of this, vuggy carbonate rock samples were prepared based on the analysis of the vuggy characteristics of carbonate reservoirs. With test results of true triaxial hydraulic fracturing, the interference of cavities in the propagation of hydraulic fractures under different horizontal principal stress differences was investigated. Moreover, the extended numerical finite element method was used to analyze the factors affecting the propagation of hydraulic fractures in vuggy carbonate reservoirs and their propagation paths. The results revealed that non-planar propagation would occur when hydraulic fractures encountered cavities when the difference coefficient of the horizontal principal stress was below 0.15, and smaller horizontal principal stress was accompanied by a larger diversion propagation distance and more complex fracture pattern. When the coefficient was between 0.15 and 0.36, hydraulic fractures would overcome the stress concentration of cavities for planar propagation, but they would be captured by cavities encountered along the propagation path. When the coefficient was no less than 0.36, hydraulic fractures would overcome the stress concentration of cavities and penetrate cavities for planar propagation. In addition, the fracturing pressure would decrease as the stress difference increased. The research results can provide a reference for hydraulic fracturing design for vuggy carbonate reservoirs.
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油气井套管柱关系到钻井安全和油气井的寿命，因此套管柱设计的核心是套管柱的安全需求和经济需求。套管按照其层次一般可以划分为表层套管、技术套管和生产套管。在同一层次套管中，从承载角度考虑，不同井深处的套管所承受的载荷不同，所需下入的套管也应不同；从经济角度考虑，按承载需求分配套管，可以降低钻井成本，这就需要对套管柱进行组合式设计。组合式设计属于NP问题，相对比较复杂。求解NP优化问题的方法主要有数学方法和智能算法[1]。目前，大多采用数学方法进行套管柱的优化设计，高德利等人[2-6]采用遍历法进行设计；A. K. Wojtanowiez等人[7-11]应用动态规划法设计；金业权[12]将套管柱优化设计问题简化成线性问题，应用线性规划法进行设计；王跃方等人[13]运用相对差商法对离散的套管截面尺寸进行最小成本优化设计。在智能算法方面，主要是利用遗传算法[14-15]和差分进化算法[16-17]对套管柱组合进行优化设计。
随着我国油气勘探开发的不断深入，深井和超深井数量越来越多，套管柱组合设计的优势也越明显，并成为超深井套管设计的有效方法[18]。套管柱组合设计时，需要借助于优化算法[19]寻找成本最低、质量最小且最安全的套管柱，而智能优化算法解决这种问题非常有效。但是，目前在该方面的研究比较少，尤其是优化模型，大部分采用单一目标模型，缺乏统一的数学模型。因此，笔者等人提出了一种以启发式算法为基础的套管柱组合设计方法，将套管柱的质量、成本和安全因素统一在一个数学模型中，建立了一个按需求向量可调整的目标函数，并应用智能算法进行求解。
1. 套管柱组合设计变量的选择
依据井身结构设计方法[20]，可以确定套管的层次及对应的下入深度，在套管层次和下入深度确定的情况下，可以进行单一层次套管柱的设计。若按照每一节套管均不同进行设计，管理成本太高，既不现实又没有必要。为便于处理，可按照套管的种类将某层次套管柱从井口到井底方向依次分成m个套管组，即G1，G2，G3，…，Gm，套管组内的套管节数依次为n1，n2，n3，…，nm，用变量N表示，如图1所示。
在套管数据库中，一个套管序号对应一系列的的套管属性参数，如内径、外径、线密度、抗内压强度、抗挤强度、抗拉强度、钢材价格和扣型等。因此，m个套管组对应的套管可以依次用套管序号x1，x2，x3，…，xm表示，为了简便可以将其写成变量X。根据套管柱组合的内部关系，可用图2所示的树状结构表示。这样，套管柱组合就可以用套管序号X和套管节数N这2个变量进行描述，具体为S={G(X，N)}={G1(x1，n1)，G2(x2，n2)，G3(x3，n3)，…，Gm(xm，nm)}。
2. 套管柱组合优化设计方法
将某套管柱组合分成m个不同的套管组，则套管柱的设计问题就变成了套管组合的问题。以数据库中套管序号X和其对应的套管节数N为变量，按照一定的规则组合，可以形成套管柱组合设计方案。为评价各个设计方案的合理性，需构造包含质量、成本和安全因素的评价函数，并结合现场约束条件，对形成的套管柱组合设计方案进行定量评价。依据评价结果，按照组合保留规则，保留套管柱组合设计方案，与重新形成的组合一起，按照上述过程反复迭代；当满足迭代终止条件时，最后保留的方案即为套管柱组合设计方案。
通过调节不同因素对应的需求量，可以构造出满足不同设计需求的评价函数，进而可得到符合不同设计需求的套管柱组合方案。具体的套管柱组合优化设计流程如图3所示。
2.1 需求向量
2.1.1 安全需求量
套管柱的安全一般通过安全系数或可靠度来体现，因此可以优先选择它们作为安全需求量，而它们一般具有一定的取值范围，依据设计者对安全的需求程度，结合现场具体情况，可以从大到小的方式在取值范围内选择具体值，以体现对安全的需求程度。
2.1.2 成本和质量需求量
在满足安全因素的设计方案中，成本因素和质量因素的重要性可以通过调整二者的权重系数进行权衡，因而可以将权重系数定为对这2个因素的需求量。例如，对于最小成本方案，可以设置成本权重系数大于质量权重系数。
因此，安全系数（或可靠度）、成本权重系数和质量权重系数可以组成套管柱组合设计的需求向量，这体现了用户的需求。
2.2 约束条件
套管柱组合设计中，现场的实际约束条件很多，主要体现在以下几个方面：井深限定了套管柱的节数z；按照经济原则，套管柱组合的套管组数m越大，成本越低，但是套管组数m过大，现场管理调度难度就高，因此组数m不能过大；井眼直径限定了套管的外径do，套管的通径决定了套管的内径di；内径和外径共同限定了套管壁厚t，且套管壁厚变化一般不能过多。
2.3 目标函数
套管柱组合优化设计的目标是设计出质量最小、成本最低和最安全的套管柱组合，因此套管柱优化设计的目标函数应当体现安全因素、成本因素和质量因素。将这3个因素用质量函数、成本函数和安全函数表示。
2.3.1 质量函数
构建质量函数的基本思路是，在整个数据库中，对所设计套管质量进行归一化处理，使函数值的范围为[0，1]，质量函数的表达式为：
W(X,N)=1−qw1−qwmin (1) 其中qw=NQΔL+(LD−NΔL)Q(m)LDqmax (2) 式中：W 为质量函数；qw为质量归一化函数； qwmin为最小质量归一化函数；N为套管节数矩阵，
{{N}}{\rm{ = }}[{n_1},{n_2},{n_3},...,{n_m}] ；Q为所选套管种类对应的线质量矩阵，{{{Q}}^{\rm{T}}}{\rm{ = }}[{q_{{x_1}}},{q_{{x_2}}},...,{q_{{x_m}}}] ，如Q(m)对应第m组套管组的线质量{q_{{x_m}}} ，kg/m；{x_m} 为套管序号；{L_{\rm{D}}} 为井深，m；\Delta L 为单节套管柱的长度，m；{q_{{\rm{max}}}} 为整个套管数据库中套管的最大线质量，kg/m。当线质量矩阵Q的每个元素均取
{q_{{\rm{min}}}} （qmin为整个套管数据库中套管的最小线质量，kg/m）时，得到矩阵{{{Q}}_{{\rm{min}}}} ，代入式（2），可以得到{q_{{\rm{wmin}}}} 。质量函数在具体的应用中也可以只用式（2）。2.3.2 成本函数
构建成本函数的基本思路和质量函数相同，也是在整个数据库中，对所设计套管价格进行归一化处理，使函数值的范围为[0，1]。成本函数的表达式为：
{{C}} (X,N) = \frac{{1 - {{{C}}_{\rm{p}}}}}{{1 - {{{C}}_{{\rm{p}}\min }}}} (3) \!{\text{其中}}\quad\qquad{C_{\rm{p}}} = \frac{{{{NP}}\Delta L + ({L_{\rm{D}}} - {{N}}\Delta L)P(m)}}{{{L_{\rm{D}}}{p_{\max }}}}\quad (4) 式中：C 为成本函数； Cp为成本归一化函数； Cpmin为最小成本归一化函数；P为所选套管种类对应的单位长度价格矩阵，
{{{P}}^{\rm{T}}}{\rm{ = }}[{p_{{x_1}}},{p_{{x_2}}},...,{p_{{x_m}}}] ；P(m)对应第m组套管组的单位长度价格{p_{{x_m}}} ，美元/m；{p_{{\rm{max}}}} 为整个套管数据库中单位长度最高价格，美元/m。当单位长度价格矩阵P的每个元素均取
{p_{{\rm{min}}}} （pmin为整个套管数据库中最低单位长度价格，美元/m）时，得到矩阵{{{P}}_{{\rm{min}}}} ，代入式（4）可得{C_{{\rm{pmin}}}} 。具体应用时也可以只用式（4）计算成本函数。2.3.3 安全函数
构建安全函数的基本思路是，对于井筒内不符合安全条件的套管，在函数值中进行累加，表达式为：
B (X,N)= \sum\limits_{i = 1}^z {{B_i}} (5) 式中：B为安全函数； Bi 为第 i 节套管的安全值；z为该层套管总的套管节数。
式（5）中，当满足安全条件时， Bi 的取值为0；当不满足安全条件时，Bi的取值为1。
在井筒内套管所承受载荷会随着时间（服役过程[21]：钻完井阶段、生产阶段）和空间（井身结构）变化而发生相应的变化，可以依据地质参数和将来可能的作业参数，并与相关载荷计算模型结合，计算出套管柱组合中每一节套管在所处地层中承受的有效内压力、外挤压力和轴向载荷（拉伸或压缩[22]）；同时也可以考虑温度[23-24]、泥岩蠕变[25]和腐蚀[26]等因素产生的附加载荷。在不同阶段下，这些载荷将导致套管产生磨损[27]或改变套管强度余量[28]，在对每一节套管的强度进行修正后，采用三轴强度[29-31]、双轴强度[32]或单轴强度理论进行套管强度校核。若在外载荷概率分布函数和套管强度概率分布函数已知的前提下，可以采用可靠性[33-36]理论判断每一节套管的安全性；若不清楚，可以用安全系数判断每一节套管的安全性。用安全系数表示的安全条件为：
p_{\rm{b}}^i \geqslant \Delta p_{\rm{b}}^i S_{\rm{b}}^{}{\text{或}}p_{\rm{c}}^i \geqslant \Delta p_{\rm{c}}^i S_{\rm{c}}^{}{\text{或}}F_{\rm{s}}^i \geqslant F_{\rm{A}}^i S_{\rm{t}}^{} (6) 式中：
p_{\rm{b}}^i 和\Delta p_{\rm{b}}^i 分别为第i节套管所能承受的最大抗内压强度和该处承受的有效内压力，MPa；p_{\rm{c}}^i 和\Delta p_{\rm{c}}^i 分别为第i节套管所能承受的最大抗挤强度和该处承受的有效外挤压力，MPa；F_{\rm{s}}^i 和F_{\rm{A}}^i 分别表示第i节套管所能承受的最大拉力和该处承受的拉力，kN；{S_{\rm{c}}} 为抗挤安全系数；{S_{\rm{b}}} 为抗内压安全系数；{S_{\rm{t}}} 为抗拉安全系数。上述安全系数可以采用文献[37]中的方法确定，也可以采用可靠度条件下的安全系数[28]。
2.3.4 评价函数
由于目前常用的优化工具中，大部分是求解最小值的问题，为了使评价函数更容易被应用，笔者也采用求最小值的形式。结合式（1）—式（5），根据线性加权和惩罚函数构造出评价函数：
{f_{\min }}(X,N) = - [({w_1}W (X,N) + {w_2}C (X,N)) - B (X,N)]{A_{\rm{c}}} (7) 式中：w1为质量权重系数，w2为成本权重系数，两者的取值范围均为(0，1]，且两者之和为1；Ac为放大系数，其取值应不小于1。
评价函数的前2项分别体现的是套管质量和成本因素，这2项之和最大为1；对于套管柱的安全性，评价函数的值会随着安全函数B(X，N)增大而增大。若套管柱不安全，则安全函数至少为1，其对评价函数值的贡献远远大于前2项，因此，不安全套管柱的评价函数值至少为0，而且随着不安全套管节数增多，对评价函数值的惩罚力度增大，使其远远大于0；相反，若套管柱安全，则安全函数值为0，对评价函数没有惩罚力度。因此，若套管柱不安全，则评价函数值为非负数，其值直接取决于不安全套管的节数；若套管柱安全，评价函数值应该在[–1，0）。为了使函数值更明显，可以对该值进行放大。
结合前述需求向量内容，可以得到体现安全（以安全系数为例）、质量和成本因素的需求向量[Sc，Sb，St，w1，w2]，通过调节该需求向量，可以得到不同的评价函数，从而适应不同的设计需求。需要注意的是，不同设计方案下的评价函数值不具有可比性，在比较评价函数值时，必须保证需求向量相同；对于同一需求的设计方案，评价函数值仅能表明其在某方面的性能是否得到优化，但不能确保各个方面的性能都得到优化。
2.4 套管柱组合实现方法
套管柱组合可以用树状结构表示，可以表示成[X，N]，也可以表示成
[{x_1},{x_2},{x_3}, \ldots ,{x_m},{n_1},{n_2},{n_3}, \ldots ,{n_m}] ，其中的变量均为非负整数，利用相应概率分布产生的随机数，结合新套管组合产生规则，在相应的设计区间取值，组合成不同设计方案；用构造的评价函数进行评价，得到相应的评价值；通过对比评价值，按照新套管组合接受规则，将接受的设计方案进行保存。这个过程可以采用启发式算法实现，常用的算法有遗传算法（GA）、模拟退火算法（SA）和粒子群算法（PSO）等。3. 案例分析
由于目前国内套管的价格很难收集齐全，因此，笔者采用文献[38]中的套管数据建立套管数据库，同时利用该文献中套管最经济方案设计的例子进行验证。某直井技术套管层外径为244.5 mm，套管下深3 048.00 m，最小套管段长为304.80 m，下套管时，井内钻井液的密度为1.44 kg/L，下层套管（生产套管）的下深为4 572.00 m，所用钻井液密度最大为1.80 kg/L，防喷器的工作压力为34.75 MPa。进行套管柱组合设计时，抗挤、抗内压和抗拉安全系数分别为1.125，1.000和1.800。
3.1 约束条件分析
案例中技术套管下深
{L_{\rm{D}}} 为3 048.00 m，若单根套管长度\Delta L 为12.20 m，套管节数z为250；假设套管柱最多可以用3种套管组合，即m≤3；套管组内总长度不少于304.8 m，意味着每一组套管节数n的取值范围为[25，250]；套管外径也可以取一个范围值，由于案例限制，套管柱外径do为244.5 mm。3.2 需求向量选择
最经济的方案指成本低且质量小的设计方案，故设计时可将权重系数设置为：w1=0.5，w2=0.5。结合已知条件中的安全系数，最终的需求向量为[1.125，1.0，1.8，0.5，0.5]。
3.3 计算结果对比及分析
利用上文的方法，结合约束条件和需求向量，将放大系数Ac设定为10。对上述案例进行计算，得到2个计算结果（解2和解3），计算过程如图4所示。
从图4可以看出，每代的最优评价值（黑点）从开始的正数很快降至负数，说明安全函数产生的惩罚效果比较明显，初代最优个体大约有43节左右的套管存在安全问题，之后基本稳定在负数区域，直至迭代至500代。
将解2和解3与文献的最优计算结果（解1）进行质量、成本和评价值等方面的对比，结果见表1。
表 1 最经济方案结果对比Table 1. Results comparison for the most economic program解 x1 x2 x3 n1 n2 n3 质量/kg 成本/美元 评价值 解1 15 21 15 107 63 80 150 119.8 283 992.4 –7.509 3 解2 15 21 10 125 71 54 150 531.1 272 470.0 –7.645 8 解3 15 21 15 108 60 82 149 965.6 283 722.7 –7.521 2 表2为3个计算结果对应的套管组合设计方案对比（表中的序号为套管数据库中套管序号X；扣型1为短螺纹，2为长螺纹，3为偏梯形螺纹）。
表 2 套管设计最经济方案对比Table 2. Comparison for the most economic program of casing design解 井段/m 序号 价格/
（美元·m–1）线密度/
（kg·m–1）抗内压强度/
MPa抗挤强度/
MPa抗拉强度/
kN内径/
mm外径/
mm钢级 扣型 解1 0～1 305.4 15 91.315 59.527 47.022 29.165 3 818.10 224.409 244.5 S95 2 1305.4～2074.0 21 98.684 64.735 51.780 38.611 4 267.55 222.377 244.5 S95 2 2074.0～3050.0 15 91.315 59.527 47.022 29.165 3 818.10 224.409 244.5 S95 2 解2 0～1525.0 15 91.315 59.527 47.022 29.165 3 818.10 224.409 244.5 S95 2 1 525.0～2 391.2 21 98.684 64.735 51.780 38.611 4 267.55 222.377 244.5 S95 2 2 391.2～3 050.0 10 72.677 59.527 27.234 29.165 2 687.80 224.409 244.5 S80 1 解3 0～1 317.6 15 91.315 59.527 47.022 29.165 3 818.10 224.409 244.5 S95 2 1 317.6～2 049.6 21 98.684 64.735 51.780 38.611 4 267.55 222.377 244.5 S95 2 2 049.6～3 050.0 15 91.315 59.527 47.022 29.165 3 818.10 224.409 244.5 S95 2 由表1可知：在评价值方面，文中方法得到的解2和3优于解1，分别降低了1.82%和0.16%；在成本方面，相比于解1，解2的成本降低了4.057%，解3的成本降低了0.095%；在质量方面，相比于解1，解2的质量增加了0.274%，解3的质量降低了0.103%。从表1和表2还可以看出，在成本方面，解2相比于解1优化了很多，但质量略有增加；而解3仅仅是分段长度与解1不同，但成本和质量方面都得到了一定程度的优化。
安全是套管设计的基础，必须保证每一节套管都满足安全条件，3个计算结果中，每一组对应的最小安全系数如表3所示。由表3可知，3个解的设计结果安全系数均满足设计要求，解3和解1的情况基本一致，解2的第3段最小抗内压安全系数刚刚满足安全条件。最经济方案属于成本和质量双目标优化问题，从优化结果来看，3个解均满足设计需求。
表 3 最经济方案中每组的最小安全系数Table 3. Comparison of minimum design safety factors per segment in the most economic program解 组 最小安全系数 抗拉 抗内压 抗外挤 解1 G1 2.60 1.18 1.47 G2 5.00 1.46 1.46 G3 8.30 1.60 1.13 解2 G1 2.59 1.18 1.27 G2 5.66 1.53 1.46 G3 8.65 1.01 1.20 解3 G1 2.60 1.18 1.45 G2 5.04 1.46 1.46 G3 8.10 1.59 1.13 4. 结 论
1）提出了一种基于启发式算法的套管柱组合优化设计方法，在已知需求向量的情况下，可以设计该需求下的套管柱组合。
2）基于启发式算法的套管柱组合优化设计方法将设计需求转换成设计需求向量，体现了套管柱成本、质量和安全因素的重要性，并构造了用该向量控制的评价函数。实现了用一个数学模型表达套管柱组合个性化设计的问题。
3）实例分析表明，使用基于启发式算法的套管柱组合优化设计方法进行套管柱组合设计，不仅能满足安全方面、质量方面和成本方面的需求，而且得出的设计方案比原设计更合理，充分验证了该方法的可行性，但设计向量和最终结果需要设计者根据实际需求进行选择。
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图 3 不同试样的水力裂缝扩展泵压–时间曲线
Figure 3. Pumping pressure-time curve of hydraulic fracture propagation of different samples
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图 4 试样不同水平主应力差下的破裂压力
Figure 4. Fracture pressure of samples under different horizontal principal stress differences
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图 9 不同水平主应力差异系数下的裂缝形态示意
Figure 9. Fracture pattern under different horizontal principalstress difference coefficients
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图 10 不同水平主应力差下水力裂缝扩展的特征和路径
Figure 10. Propagation characteristics and paths of hydraulic fractures under different horizontal principal stress differences
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图 11 含不同半径孔洞模型水力裂缝扩展特征
Figure 11. Propagation characteristics of hydraulic fractures in models with different radii cavities
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图 12 含不同半径孔洞模型水力裂缝扩展路径
Figure 12. Propagation paths for hydraulic fractures in models with cavities of different radii
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图 13 孔洞连续分布模型不同水平主应力差下水力裂缝扩展特征
Figure 13. Propagation characteristics of hydraulic fractures in models with continuous cavity distribution under different horizontal principal stress differences
表 1 碳酸盐岩试样压裂试验参数
Table 1 Fracturing test parameters of carbonate rock samples
试样 应力差
异系数k{\sigma_{⃑\text{v}}} /
MPa{\sigma _{\text{H}}} /
MPa{\sigma _{\text{h}}} /
MPaQ/（mL·min−1） D1 0.36 18 15 11 5 D2 0.25 18 15 12 5 D3 0.15 18 15 13 5 D4 0.07 18 15 14 5 
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表 2 数值模拟地应力参数设置
Table 2 Parameter setting of in-situ stress in numerical simulation
序号 {\sigma _{\text{H}}} /MPa {\sigma _{\text{h}}} / MPa \Dela \sigma / MPa 泊松比 弹性模
量/GPaBiot
系数1 75 70 5 0.19 38.54 0.87 2 65 10 3 60 15 4 55 20
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