The Production Decline Laws of Water Drive Reservoirs Considering Variable Liquid Production
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摘要:
前人发现定产液量生产时的水驱曲线法与Arps递减方法之间存在着联系，而油田开发过程中随着含水率上升产液量会逐渐升高，很难实现定产液量生产，因此开展了产液量变化情况下的产量递减规律研究。在推导产液量变化情况下产量递减率通式的基础上，推导出了4种常用水驱曲线变产液量生产时的产量递减率公式，并结合油田实际生产数据拟合分析结果，得到了乙型与丙型水驱曲线变产液量生产时的产量计算公式。分析发现：定产液量生产时的产量计算公式是变产液量生产时产量计算公式的一个特例；若油田生产符合乙型水驱曲线特征，当油田的产液量变化率与预测初始时刻的产量递减率一致时，油田的产量能保持稳定。研究结果表明，通过提高产液量维持油田稳产会导致产液量呈指数增长，因此在油田开发过程中要结合实际情况制定合理的工作制度，不能为追求稳产将产液量提高幅度制定得过高。
Abstract:Previous studies have shown that a relationship between water drive curve method and the Arps decline method exists in constant liquid production. However, liquid production will gradually increase with the increase of water cut, and it is difficult to accommodate the condition of constant liquid production during oilfield development. The study on the production decline laws under variable liquid production was carried out. Based on the general formula of production decline rate under variable liquid production, the researchers derived a formula of production decline rate under variable liquid production for four kinds of commonly used water drive curves. Then a production calculation formula for the type B and type C water drive curves considering variable liquid production was established by aligning and analyzing the practical results of oilfield production. In the analysis, it was found that the production calculation formula of constant liquid production is a special case of that of variable liquid production. If production complies with the characteristics of type B water drive curve, the productivity of oilfield will remain stable when the oil production change rate is equal to the production decline rate as primarily forecasted. The research results showed that to maintain oil production of an oilfield by increasing liquid production will lead to an exponential increase in liquid production. Therefore, a reasonable working system should be formulated in combination with the actual situation in the process of oilfield development. Obtaining stable oil production from very high liquid production is not recommended.
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目前，渤海油田大部分稠油区块进入了中高含水期，强化注采、提高产液量已成为比较有效的增产措施，因此研究产液量变化情况下产油量与含水率的变化规律显得尤为重要[1–3]。Arps递减方法与水驱曲线法是预测已开发水驱油田开发指标及计算可采储量的有效方法。采用Arps递减方法预测产量时只关注产油量的变化规律而不会关注产液量与含水率的变化，而采用水驱曲线法预测油藏开发指标时大多假设定产液量生产[4–5]。前人研究成果表明，水驱曲线法与Arps递减方法之间存在着一定的联系，且乙型和丙型水驱曲线在定产液量条件下，产量递减分别符合调和递减规律和n=0.5的双曲递减规律[6–10]。在油田开发生产过程中，为保持产油量稳定，产液量会随含水率升高而增大，因此，很难满足定产液量生产的条件。杨宝泉等人[11–13]给出了变产液量下累计产油量与累计产液量的计算公式，但未给出乙型和丙型水驱曲线的产量递减规律。水驱曲线的累计产量公式反映了含水率与采出程度的关系，并没有要求产液量恒定。因此，笔者利用水驱曲线法来研究产液量变化时油田产量的递减规律。为了研究产液量变化情况下水驱油田的产量递减规律，将前人定产液量的产量递减计算公式扩展为产液量变化的递减率计算公式，并在此基础上推导了乙型和丙型水驱曲线在变产液量条件下的产量公式，并利用产量计算公式分析了水驱油田产液量变化的产量递减规律，分析结果可用于指导油田制定合理的工作制度。
1. 变产液量的递减率分析
文献[6]推导了4种常用水驱曲线在定产液量生产条件下的递减率公式。油田生产过程中产液量随着含水率升高逐渐增大，根据产量递减率的定义，产液量发生变化情况下产量的递减率为：
D=−dqoqodt=−d(qlfo)(qlfo)dt=−dfofodt−dqlqldt (1) 定义产液量变化率为
rl=dqlqldt ；当产液量ql 为常数时rl =0，式（1）可简化成含油率的递减率：Dc=−dfofodt (2) 式中：
D 为产量递减率，%；Dc 为含油率的递减率，%；rl 为产液量变化率，%；fo 为含油率，%；ql 为产液量，m3/a；qo 为产油量，m3/a。由式（1）和式（2）可知：定产液量生产时的产量递减率等于含油率的变化率；变产液量时的产量递减率等于含油率的递减率与产液量变化率之差。据此以及文献[6]中定产液量生产时的产量递减率公式，可以得到产液量变化时4种常用水驱曲线的产量递减率公式。对累计产量与含水率关系关于时间求导可以得到含油率的变化率，再结合式（1）同样可求得4种常用水驱曲线在产液量变化时的产量递减率公式。
甲型、乙型、丙型和丁型水驱曲线产液量变化时的产量递减率公式分别为：
D=bqofw−rl (3) D=bqo−rl (4) D=2b√qlqo√a−rl (5) D=2b√qlqo√a−1f32w−rl (6) 式中：
fw 为含水率，%；a和b为水驱曲线常数。2. 变产液量时的产量递减规律
前人总结出乙型和丙型水驱曲线在定产液量生产时的产量递减分别符合调和递减规律和n=0.5的双曲递减规律，但对于产液量发生变化时产量递减规律的研究较少。下面笔者对乙型和丙型水驱曲线在产液量变化情况下的产量递减规律进行分析。
由产液量变化率的定义可知，产液量变化率的表达式为：
rl=1qldqldt=ql(t+1)−ql(t)ql(t) (7) 由式（7）可知，产液量变化率即为单位时间内的产液量提高幅度。分析渤海Q油田北区与西区产液量随时间的变化规律发现，该油田某一时期内产液量呈指数增长（见图1），即产液量变化率为常数。
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图 1 渤海Q油田北区与西区的产液量变化规律Figure 1. Changing law of liquid production in the northern and western areas of Bohai Q Oilfield2.1 变产液量时的产量计算公式
预测产量时为了考虑产液量变化的影响，假设油田每年产液量的提高幅度保持一定，即产液量变化率
rl 为常数，根据乙型水驱曲线的产量递减率公式可得：−dqoqodt=bqo−rl (8) 若油田每年产液量的提高幅度发生变化，则产液量变化率
rl 不为常数，此时无法通过解析方法预测产量，但可以对式（8）进行离散，采用递推法求解该式：1−qo(t+1)qo(t)=bqo(t+1)−rl(t) (9) 对式（8）分离变量积分得到产液量变化时乙型水驱曲线的产量计算公式：
qo=qoi(1−e−rlt)Dcirl+e−rlt (10) 式中：
Dci=bqoi ，即预测初始时刻乙型水驱曲线的产量递减率。当
rl =0时，即定产液量生产，对式（10）求取极限即为定产液量生产时的产量计算公式：qo=lim (11) 式中：
{q_{{\rm{oi}}}} 为初始产油量，m3/a；{D_{{\rm{ci}}}} 为预测初始时刻的产量递减率，%。由式（11）可知，当产液量变化率为0，即定产液量生产时乙型水驱曲线的产量递减符合调和递减规律。产液量发生变化时产量的递减规律不再符合调和递减，而是符合式（10）的递减规律。因此式（10）更具有普适性，式（11）是式（10）产液量变化率为0的特例。同理求解得产液量变化时丙型水驱曲线的产量计算公式：
{q_{\rm{o}}} = \dfrac{{{q_{{\rm{oi}}}}}}{{{{\left\{ {{{\frac{{{D_{{\rm{ci}}}}}}{{{2r_{\rm{l}}}}}}}({{\rm{e}}^{\frac{{{r_{\rm{l}}}t}}{2}}} - {{\rm{e}}^{\frac{{ - {r_{\rm{l}}}t}}{2}}}) + {{\rm{e}}^{\frac{{ - {r_{\rm{l}}}t}}{2}}}} \right\}}^2}}} (12) 式中：
{D_{{\rm{ci}}}} = \dfrac{{2{{b}}\sqrt {{q_{{\rm{li}}}}{q_{{\rm{oi}}}}} }}{{\sqrt a }} ，即预测初始时刻丙型水驱曲线的产量递减率，%。当
{r_{\rm{l}}} =0时，即定产液量生产，对式（12）求取极限即为定产液量生产时的产量计算公式：{q_{\rm{o}}} = \mathop {\lim }\limits_{{r_{\rm{l}}} \to 0} \dfrac{{{q_{{\rm{oi}}}}}}{{{{\left\{ {{{\frac{{{D_{{\rm{ci}}}}}}{{{2r_{\rm{l}}}}}}}({{\rm{e}}^\frac{{{r_{\rm{l}}}t}}{2}} - {{\rm{e}}^{ \frac{{ - {r_{\rm{l}}}t}}{2}}}) + {{\rm{e}}^{\frac{{ - {r_{\rm{l}}}t}}{2}}}} \right\}}^2}}} = \frac{{{q_{{\rm{oi}}}}}}{{{{\left( {\dfrac{{{D_{{\rm{ci}}}}}}{2}t + 1} \right)}^2}}} (13) 由式（13）可知，当产液量变化率为0，即定产液量生产时丙型水驱曲线的产量递减符合n=0.5的双曲递减规律；产液量发生变化时产量的递减规律不再符合n=0.5的双曲递减规律，而是符合式（12）的递减规律。因此式（12）更具有普适性，式（13）是式（12）产液量变化率为0的特例。
2.2 乙型水驱曲线产量递减规律分析
对式（10）进行进一步分析可知：当
{r_{\rm{l}}} = {D_{{\rm{ci}}}} ，{q_{\rm{o}}} = {q_{{\rm{oi}}}} 时，即单位时间内产液量的提高幅度等于初始时刻的产量递减率时，产量保持稳定；当{r_{\rm{l}}} < {D_{{\rm{ci}}}} ，{q_{\rm{o}}} < {q_{{\rm{oi}}}} 时，即产液量的提高幅度小于初始时刻的产量递减率时，产量降低。若产液量变化率为常数，对式（7）分离变量进行积分可得产液量计算公式：{q_{\rm{l}}} = {q_{{\rm{li}}}}{{\rm{e}}^{{r_{\rm{l}}}t}} (14) 式中：
{q_{{\rm{li}}}} 为预测初始产液量，m3/a。绘制产量年递减率为24%时不同产液量提高幅度下的生产曲线，如图2所示。由图2可知，逐步提高产液量可以减缓产量递减幅度甚至保持稳产，但是产液量却要呈指数增长。由于产液量不可能无限制提高，因此在油田开发过程中要结合实际情况制定合理的工作制度，不能为追求稳产而将产液量提高幅度制定得过高。除了合理提高产液量，还可以通过不断完善井网，增大水驱波及范围来提高水驱储量的动用程度，从而降低油田的产量递减幅度。
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图 2 不同产液量提高幅度下产液量和产油量的变化规律Figure 2. Changing law of liquid production and oil production under different liquid production increasing amplitudes3. 应用实例
渤海BZ油田自2010年投产以来的生产数据如表1所示。该油田的产出液最大处理能力为11 100 m3/d，平台寿命35 a，预测该油田不同产液量提幅度下的产油量。
采用乙型水驱曲线对BZ油田投产以来的生产数据进行拟合，结果见图3。由图3可知，该油田乙型水驱曲线的斜率b为0.006 2。根据2017年的年产油量，考虑平台寿命以及产出液最大处理能力，利用式（10）和式（14）分别计算了产量递减率
{D_{{\rm{ci}}}} 为22.6%，年产液量提高幅度为0，5%，10.0%和22.6%时2018—2044年的产油量及产液量，结果见图4和表2。![]()
图 4 不同产液量提高幅度下产油量及产液量预测结果Figure 4. Forecast results of oil production and liquid production under different annual liquid production increasing amplitudes表 1 渤海BZ油田投产以来的生产数据Table 1. Historical production data of BZ Oilfield in Bohai Area年份 年产油量/
104m3年产水量/
104m3累计产油量/
104m3累计产水量/
104m3含水率，% 2010 69.76 12.33 69.76 12.33 15.02 2011 55.73 23.68 125.49 36.01 29.82 2012 52.44 41.10 177.92 77.11 43.94 2013 47.81 58.31 225.74 135.42 54.94 2014 46.58 78.44 272.32 213.86 62.74 2015 39.74 95.85 312.05 309.71 70.69 2016 34.84 97.49 346.89 407.19 73.67 2017 36.30 128.08 383.19 535.28 77.92 结合表2和图4可知：产液量提高幅度越大，油田达到产出液最大处理能力的时间越早，剩余技术可采储量越大。单从油田稳产角度考虑，在未达到产出液最大处理能力之前，产液量提高幅度越大产量递减越慢，但是产液量提高幅度越大，产液量达到产出液最大处理能力后其产量递减幅度也越大。因此油田需要制定合理的产液量提高幅度，才能保证油田初期产量递减缓慢，又能避免产液量达到产出液最大处理能力后产量大幅降低。要确定BZ油田产液量最佳提高幅度，需要综合考虑海上产出液处理的成本和提液后增加的产油量。由于水驱曲线法预测无法考虑油田采取重大调整措施的情况，因此上文提出的方法只适用于预测油田在未来不采取重大调整措施时考虑产液量变化的产量递减规律。
表 2 产液量不同提高幅度下的开发效果Table 2. Development Effect of different liquid production increasing amplitudes产液量提高
幅度，%达到产出液最大
处理能力年份2044年油田
含水率，%剩余可采储量/
104m30 96.9 300.17 5.0 2035 98.2 393.24 10.0 2026 98.5 413.19 22.6 2021 98.6 423.84 4. 结论及建议
1）推导了产液量变化时的产量递减率通式，在此基础上推导了乙型与丙型水驱曲线的产量计算公式。分析表明：产液量变化时乙型和丙型水驱曲线不再符合Arps递减规律，定液量产量计算公式是变液量产量计算公式在产液量变化率为0条件下的特例。
2）由于甲型和丁型水驱曲线的产量递减率公式中存在含水率这一变量，难以采用解析方法进行求解，故笔者只推导了乙型和丙型水驱曲线在产液量变化情况下的产量计算公式。下一步应研究甲型和丁型水驱曲线在产液量变化情况下的产量递减规律。
3）若油田生产符合乙型水驱曲线特征，当产液量的提高幅度与初始时刻的产量递减率相等时，油田能够实现稳产，但通过提高产液量维持油田稳产会导致产液量呈指数增长。因此，在油田开发过程中要结合实际情况制定合理的工作制度，不要为追求稳产将产液量提高幅度制定得过高。
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图 1 渤海Q油田北区与西区的产液量变化规律
Figure 1. Changing law of liquid production in the northern and western areas of Bohai Q Oilfield
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图 2 不同产液量提高幅度下产液量和产油量的变化规律
Figure 2. Changing law of liquid production and oil production under different liquid production increasing amplitudes
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图 4 不同产液量提高幅度下产油量及产液量预测结果
Figure 4. Forecast results of oil production and liquid production under different annual liquid production increasing amplitudes
表 1 渤海BZ油田投产以来的生产数据
Table 1 Historical production data of BZ Oilfield in Bohai Area
年份 年产油量/
104m3年产水量/
104m3累计产油量/
104m3累计产水量/
104m3含水率，% 2010 69.76 12.33 69.76 12.33 15.02 2011 55.73 23.68 125.49 36.01 29.82 2012 52.44 41.10 177.92 77.11 43.94 2013 47.81 58.31 225.74 135.42 54.94 2014 46.58 78.44 272.32 213.86 62.74 2015 39.74 95.85 312.05 309.71 70.69 2016 34.84 97.49 346.89 407.19 73.67 2017 36.30 128.08 383.19 535.28 77.92 
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表 2 产液量不同提高幅度下的开发效果
Table 2 Development Effect of different liquid production increasing amplitudes
产液量提高
幅度，%达到产出液最大
处理能力年份2044年油田
含水率，%剩余可采储量/
104m30 96.9 300.17 5.0 2035 98.2 393.24 10.0 2026 98.5 413.19 22.6 2021 98.6 423.84
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