随着超深井、定向井、水平井的逐渐增多，复杂载荷作用下套管的应力计算问题越来越受到关注。目前的研究主要针对居中套管（包括偏磨）在均匀和非均匀地应力条件下的强度计算^[1–9]，但在非均匀地应力条件下无法求得不居中套管应力的解析解，W. J. Rodriguez^[10]，P. D. Pattillo^[11]和A. Nabipour^[12]等人利用有限元方法进行了研究，只有窦益华^[13]讨论了解析求解方法，提出了解决此类问题的新思路。在实际工程中，由于所遇情况复杂多变，常常需要针对不同对象进行有限元建模和分析，所需周期长，很难满足快速、实时解决问题的要求。为此，笔者提出了一种基于支持向量机（support vector machine，SVM）的非均匀地应力条件下不居中套管最大von Mises应力的快速预测方法，并对ϕ311.1 mm垂直井眼中的套管进行了分析研究。

1.   SVM原理及其Matlab实现

SVM是一种基于统计学习理论的机器学习算法，通过寻求结构风险最小化来实现实际风险的最小化，在有限信息条件下得到最优结果^[14]，在解决小样本、非线性和高维模式识别问题中表现出许多特有的优势。SVM可以作为一种广义的线性分类器，它的原理是利用非线性变换将输入空间变换到一个高维的特征空间，并在新的空间寻找最优线性分界面。线性可分的情况下，为确保经验风险最小，选取最优分界线H时不仅需要分类准确，还要使分类间隔M（H₁和H₂之间的距离）最大^[14]，如图1所示。

图  1  线性可分情况下的最优分类线^[14]

Figure  1.  Optimal classification line in the case of linear separability^[14]

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线性不可分情况下，SVM的主要思想是将输入向量${{x}}$映射到一个高维的特征向量空间，用特征向量$\phi ({{x}})$来代替，从而得到最优分类函数。由于在运算过程中，无论是目标函数还是决策函数都只涉及到训练样本之间的内积运算，而原空间的核函数$K\left( {{{{x}}_i},{{{x}}_j}} \right)$可以取代该内积运算，因此可通过选择合适的核函数完成从线性问题到非线性问题的推广^[14]。

支持向量机回归算法（support vector regression，SVR）是SVM的衍生算法，其本质是需要寻求一个最优超平面，使所有样本点与该超平面的总体偏差最小^[15]。也就是说，对于一个容量为n的样本集：

式中：$i$为样本序号；d为${{{x}}_i}$的维数。

需要寻找一个最优回归函数f，使$f({{{x}}_i})$尽可能接近对应的样本值${y_i}$。

通过构造Lagrange函数，将支持向量机回归问题转化为凸二次规划寻优的对偶问题^[15]：

式中：C为惩罚因子，是一个大于0的常数；$a_i^{}$，$a_i^ *$，$a_j^{}$和$a_j^ *$为Lagrange乘子；$\varepsilon$为不敏感系数；$K({{{x}}_i}, {{{x}}_j})$为径向基核函数^[15]；$\sigma$为核函数参数。

若问题的解为$a_{i{\rm{o}}}$、$a_{i{\rm{o}}}^ *$，则相应的回归函数为^[15]：

式中：${b_{\rm{o}}}$为回归参数值。

式（4）即为基于径向基核函数的$\varepsilon {\rm{ - SVR}}$模型。

$\varepsilon {\rm{ - SVR}}$模型的回归效果主要受核函数参数$\sigma$、不敏感系数$\varepsilon$及惩罚因子$C$等参数的影响^[16–17]。通过比较各种参数优选的方法，选用网络搜索法进行参数寻优^[18]，以训练样本均方根误差（root mean squared error，RMSE）最小作为寻优标准，即：

式中：$f\left( {{{{x}}_i}} \right)$为预测值。

基于Matlab软件，可以实现程序运算，具体运算框图见图2。

图  2  ε–SVR模型的MATLAB程序实现

Figure  2.  MATLAB program implementation of the ε–SVR Model

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2.   SVM实验样本构建

为了利用SVM方法实现非均匀地应力和套管不居中情况下套管最大应力的预测，必须建立实验样本。由于实际的“套管–水泥环–地层”系统及其受载十分复杂，这些样本无法用真正的实验方法构建，为此利用ANSYS有限元方法进行“实验样本”的构建。关于“套管–水泥环–地层”系统的有限元分析已十分成熟，也已经过实际数据的验证。这种有限元分析的一个特点是在弹性条件下计算套管的应力，最后根据应力大小和套管的强度来确定套管是否失效^[19]。本文的“实验样本”也基于弹性条件进行构建。

影响“套管–水泥环–地层”系统套管应力的因素很多，包括套管的类型和尺寸、最大及最小水平地应力、钻井液密度、水泥环的弹性模量及泊松比、地层的弹性模量及泊松比、套管偏心距和偏心角。关于地应力的影响，有不同的观点，但对于刚钻穿盐膏层的井筒来说，由于应力释放需要较长的时间，因此在一定时间段内，套管将会承受非均匀地应力的作用。同时，研究表明，最大应力一般出现在偏心角为90°或270°的方向^[20]。为了减少模型变量，提高预测效率，在构建“实验样本”时，将偏心角固定为90°。同时，当套管给定时，其类型和尺寸都将确定。因此，针对给定套管进行应力预测时，将主要包含最大地应力、最小地应力和水泥环特性等8个关键影响因素。由于实际情况非常复杂，很难确定上述影响因素的合理范围，因此采用了文献调研和实际调查的方法，确定了影响因素的近似取值范围，见表1^[21–22]。

表  1  主要影响因素及取值范围

Table  1.  Main influencing factors and range of values

影响因素	取值范围
最大水平主应力σH/MPa	80～135
最小水平主应力σh/MPa	30～80
钻井液密度ρf/（kg∙L–1）	1.15～2.05
水泥环的弹性模量Ec/GPa	10～60
水泥环的泊松比μc	0.15～0.35
地层的弹性模量Es/GPa	1～30
地层的泊松比μs	0.10～0.30
套管偏心距δ/mm	1.5～25.7

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某典型的“套管–水泥环–地层”系统如图3所示，井眼直径为311.1 mm，套管内径为219.0 mm，套管外径为250.8 mm。假设套管在井眼中的偏心距为δ，偏心方位角为φ，最大水平主应力σ_H沿x方向，最小水平主应力σ_h沿y方向。对几何模型进行单元划分，单元类型选择二维四边形PLANE183单元，按内密外疏的方式划分网格。划分后的网格如图4所示，共计6 215单元，18 953节点。对其施加载荷及约束，偏心方位角固定为90°，分别计算不同偏心距时的套管von Mises应力分布及其最大值。

图  3  套管–水泥环–地层系统几何模型

Figure  3.  Geometry model for casing, cement sheath and formation

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图  4  套管–水泥环–地层系统有限元模型

Figure  4.  Finite element model for casing, cement sheath and formation

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某一工况下对应的计算参数：偏心距为1.5 mm，σ_H 为92.0 MPa，σ_h为59.0 MPa，地层弹性模量和泊松比分别为30 GPa和0.27，水泥环的弹性模量和泊松比分别为35 GPa和0.17，套管的弹性模量和泊松比分别为210 GPa和0.30，钻井液密度为1.64 kg/L，对应井深为4 995.00 m，钻井液静液柱产生的内压约8.03 MPa。地层用以井筒为中心、边长为3.00 m的正方形代替，该工况下的套管内壁von Mises应力云图见图5。从图5可以看出，套管内壁沿y方向（即最小水平主应力方向）的von Mises应力最大达321 MPa。

图  5  套管内壁von Mises应力云图

Figure  5.  von Mises stress cloud diagram on the casing inner wall

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类似地，可计算得到其他99个“实验样本”数据的最大von Mises应力，因样本数量较大，只给出了1～10号和91～100号样本计算结果（见表2），并将1～95号样本作为训练样本，96～100号样本作为测试样本。为了避免人为干扰，计算过程中，每一个因素的取值都采用随机方法。

表  2  SVM“实验样本”数据

Table  2.  Data of the SVM “experimental samples”

序号	ρf/（kg∙L–1）	Ec/GPa	μc	Es/GPa	μs	σH/MPa	σh/MPa	δ/mm	σv/MPa
1	1.73	35.00	0.26	15.70	0.25	55.00	107.50	25.7	642.24
2	1.48	38.57	0.18	25.91	0.23	40.71	123.21	1.5	766.62
3	1.48	38.57	0.18	25.91	0.23	40.71	123.21	11.2	768.59
4	1.23	38.57	0.18	17.74	0.31	37.14	80.00	1.5	458.83
5	1.48	20.71	0.32	25.91	0.23	51.43	127.14	20.8	754.53
6	1.48	38.57	0.18	25.91	0.23	40.71	123.21	6.3	767.72
7	1.48	20.71	0.32	25.91	0.23	51.43	127.14	11.2	754.29
8	2.05	42.14	0.35	23.87	0.16	65.71	111.43	1.5	487.51
9	1.73	35.00	0.26	9.57	0.40	51.43	127.14	25.7	1 008.85
10	1.81	27.86	0.17	7.53	0.34	44.29	103.57	1.5	835.23
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
91	1.89	24.29	0.24	21.83	0.10	33.57	99.64	16.0	550.76
92	1.15	56.43	0.29	11.61	0.12	76.43	115.36	25.7	957.12
93	1.73	35.00	0.26	9.57	0.40	51.43	127.14	6.3	1 006.05
94	1.48	38.57	0.18	25.91	0.23	40.71	123.21	16.0	769.33
95	1.23	17.14	0.15	30.00	0.36	65.71	111.43	6.3	468.30
96	1.73	10.00	0.30	21.83	0.10	55.00	107.50	25.7	586.98
97	1.48	60.00	0.21	7.53	0.34	62.14	131.07	16.0	1 192.18
98	1.48	60.00	0.21	7.53	0.34	62.14	131.07	20.8	1 195.77
99	1.40	38.57	0.18	13.66	0.19	37.14	80.00	20.8	531.50
100	1.97	24.29	0.24	5.49	0.27	76.43	115.36	25.7	862.73

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3.   套管最大von Mises应力预测及精度分析

基于SVM的非均匀地应力条件下不居中套管最大应力预测，关键在于确定$\varepsilon {\rm{ - SVR}}$模型的3个核心参数，即$\sigma$、$\varepsilon$和$C$的寻优，这需要在一定范围内对3个参数进行搜索。笔者选择$\sigma$的范围为[0.1，3.0]，搜索步长为0.01；$\varepsilon$的范围为[0.01，3.05]，搜索步长为0.05；$C$的范围为[1，10]，搜索步长为0.1。经参数寻优，最佳的$\sigma$、$\varepsilon$和$C$值分别为2.01、0.01和3.00。基于这3个模型参数，预测得到表2中96～100号参数对应的最大应力值（见表3和图6）。为了比较，同时列出了对应的样本值。

表  3  测试样本的预测结果

Table  3.  Predictive effect of test samples

样本序号	模型参数	最大von Mises应力/MPa		绝对误差/MPa	相对误差，%	平均相对误差，%
		样本值	预测值
96	$\sigma$=2.01 $\varepsilon$=0.01 $C$=3.00	586.98	603.21	16.23	2.76	1.32
97		1 192.18	1 200.54	8.36	0.70
98		1 195.77	1 207.74	11.97	1.00
99		531.50	530.85	–0.65	–0.12
100		862.73	845.36	–17.37	–2.01

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图  6  预测值和样本值对比结果

Figure  6.  Comparison of predicted and sample values

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从图6可以看出，95个训练样本的预测结果和样本值基本重合，表明训练样本的拟合精度很高。5个测试样本的相对误差分别为2.76%、0.70%、1.00%、–0.12%和–2.01%，平均相对误差仅为1.32%。可见，利用SVM方法，可以快速预测非均匀地应力条件下不居中套管的最大von Mises应力。

4.   结论与建议

1）非均匀地应力条件下，目前主要采用有限元分析方法求解不居中套管的应力，缺少数值解，给套管强度校核带来了不便。利用基于SVM的智能预测方法可以解决这一难题，为实际套管应力预测提供了一种新的方法。

2）基于径向基函数的$\varepsilon - {\rm{SVR}}$模型的预测精度较高，测试样本预测值与“实验样本”“真实值”的平均相对误差仅为1.32%。

3）在已知影响因素合理范围内，利用有限元分析方法可以获得大量的“实验样本”，不但成本低，而且速度快，为利用SVM方法解决套管应力预测难题提供了有效手段。

4）本文仅以一种套管为例进行了最大von Mises应力SVM预测，对于其他种类套管，需要重新进行“实验样本”计算和$\varepsilon - {\rm{SVR}}$模型关键参数寻优。在保证计算获得的“实验样本”准确可靠的前提下，可以采用该方法预测各种套管的最大von Mises应力。