对钻头和地层相互作用情况的研究已有二三十年的历史，许多学者都建立了相关模型。其中，白家祉等人^[1]建立的“多元幂积侧向切削模型”考虑的因素比较全面，但涉及到大量参数反演，需要大量的现场资料或实验资料，因而现场应用价值不高；高德利、李子丰和闫铁等人^[2,3,4]的三维钻速方程都只是建立了力与机械钻速的关系，没有考虑钻头转速对机械钻速以及转速对钻头和地层各向异性指数的影响。而按文献^[5]对钻头各向异性指数的定义，不同钻头转速下测量出来的钻头各向异性指数是不同的；同理可知，按以前的地层各向异性指数定义，不同钻头转速下测量出来的地层各向异性指数也是不同的。但是，钻头各向异性指数与地层各向异性指数是钻头和地层本身的性质参数，在自身没有发生改变的情况下，不会因为外界测量参数的改变而改变。为此，笔者重新定义了钻头各向异性指数和地层各向异性指数，建立了考虑钻头转速影响的新三维钻速方程，并利用该方程进行了实例分析，分析了其实用价值。

1 各向异性指数的定义 1.1 地层的各向异性

地层的各向异性程度可以用地层各向异性指数来表征。假设钻头为各向同性，所钻地层为正交各向异性地层，定义钻井效率和地层各向异性指数为：

式中：D_dip，D_str和D_n分别为地层倾向、走向及法向的钻井效率；v_dip，v_str及v_n分别为钻头沿地层倾向、走向及法向的机械钻速，m/h；F_dip，F_str和F_n分别为钻头沿地层倾向、走向及法向的净作用力，kN；n为钻头转速，r/min； λ₁，λ₂和λ₃分别为地层倾向、走向和法向的转速指数；I_r1和I_r2分别为地层倾向和走向的各向异性指数。

1.2 钻头的各向异性

钻头的各向异性是指钻头在不同方向上钻进能力的差异。一般而言，无论是牙轮钻头还是PDC钻头，其结构都有利于向前(即沿轴向)钻进，钻头沿轴向的钻进效率优于沿侧向的钻进效率，即存在钻进效率的各向异性。钻头的各向异性可用钻头各向异性指数I_b来表征。假设各向异性钻头在各向同性地层里钻进，可定义钻井效率和钻头各向异性指数为：

式中：D_a和D_l分别为钻头轴向和侧向的钻井效率；F_a和F_l分别为钻头轴向和侧向的净作用力，kN；v_a和v_l分别为钻头轴向和侧向的机械钻速，m/h；λ₄和λ₅分别为钻头侧向和轴向的转速指数；I_b为钻头的各向异性指数^[6,7,8,9]。

2 考虑钻头转速新三维钻速方程的建立 2.1 坐标系的建立

建立了大地坐标系、地层坐标系、井底坐标系、钻头坐标系等4个坐标系，均取钻头处为坐标原点O。

2.1.1 大地坐标系(O－XYZ)

建立的大地坐标系(O—XYZ)中，X在水平面内并指向正东方向，Y在水平面内并指向正北方向，Z垂直于XOY平面并指向上方，如图 1所示。

2.1.2 地层坐标系(O－X_fY_fZ_f)

建立的地层坐标系(O—X_fY_fZ_f)中，X_f沿地层层面指向上倾方向，Y_f沿地层走向并符合右手法则，Z_f垂直于地层层面并指向外法线方向，如图 2所示。图 2中，β为地层倾角，(°)。

2.1.3 井底坐标系(O－X_dY_dZ_d)

建立的井底坐标系(O－X_dY_dZ_d)中，X_d指向井眼低边，Z_d垂直于井底平面并指向外法线方向，Y_d垂直于X_dOZ_d平面并符合右手法则，如图 3所示。图 3中，α为井斜角，(°)。

2.1.4 钻头坐标系(O－X_bY_bZ_b)

建立的钻头坐标系(O－X_bY_bZ_b)中，Z_b沿钻柱变形后的切线方向指向上方，X_b轴垂直于Z_b轴指向井眼低边，Y_b轴垂直于X_bOZ_b平面并符合右手法则，如图 4所示。

2.2 坐标系之间的转换关系

上述4个坐标系是可以相互转换的。由地层坐标系到大地坐标系的转换关系为：

其中

式中：Φ_f为地层下倾方位角，(°)。

由井底坐标系到大地坐标系的变换关系为：

其中

式中:Φ为井斜方位角，(°)。

由于地层坐标系和井底坐标系是不断变化的，直接求地层坐标系到井底坐标系的转换矩阵比较困难，因此要先求出地层坐标系和井底坐标系到恒定大地坐标系的转换矩阵，再据此求得到地层坐标系到井底坐标系的变换关系。由地层坐标系到井底坐标系的变换关系为：

其中

由钻头坐标系到井底坐标系的变换关系为：

其中

式中：θ_x，θ_y分别为钻头转角在X_dOZ_d平面和Y_dOZ_d平面上的投影角，rad。

钻头坐标系和井底坐标系的相对位置关系如图 5所示。θ_x符号约定：正对Y_d正方向，如果Z_d轴正向旋转到Z_b轴正向所转过的角度为逆时针，则θ_x取正，反之取负。θ_y符号约定：正对X_d正方向，如果Y_d轴正向旋转到Y_b轴正向所转过的角度为逆时针，则θ_y取正，反之取负。

2.3 方程的推导

设v_xd，v_yd和v_zd分别为井底平面上钻头机械钻速沿X_d，Y_d和Z_d方向的分量，F_xd，F_yd和F_zd分别为井底平面上钻头机械力沿X_d，Y_d和Z_d方向的分量，由地层各向异性和钻井效率的定义，它们之间的关系可表示为：

其中

净作用力F_dip，F_str和F_n可以通过井底平面上钻头机械力F_xd，F_yd和F_zd转换而来。由于得出式(15)的前提是钻头为各向同性，因此，需要对钻头的机械力进行等效化处理：首先，将钻头机械力转换到钻头坐标系中；然后，假设钻头为各向同性，即如果钻头侧向和轴向的受力大小相等，那么钻头在侧向和轴向的机械钻速也相同，进一步可以表述为“此时钻头的侧向和轴向切削能力均为D_nn^λ₅”；在钻头各向同性的假设下，钻头机械力的等效力在钻头坐标系下可以表示为：

式中：F₁,F₂和F₃分别为钻头各向同性条件下钻头机械力的等效力在X_b,Y_b和Z_b方向的分量，kN。

将钻头机械力的等效力从钻头坐标系转换到地层坐标系，转换式为：

将式(19)代入式(15)，得：

将地层坐标系中的机械钻速转换到井底坐标系中，可得：

式(25)即为考虑钻头转速影响的新三维钻速方程。

针对某种钻头，式(25)中的I_b，λ₄和λ₅可以通过试验测得，具体方法可以参考文献^[5]和修正的杨格钻速方程之五点法钻速试验求解系数，也可以通过三维钻速方程与BHA力学分析反演求取。I_r1,I_r2及λ₁,λ₂,λ₃可以通过岩心地面试验测得^[8]，也可以通过该三维钻速方程与BHA力学分析反演求取；I_r1,I_r2还可以通过分析随钻声波测井资料求取^[10,11,12]。

3 钻头转速影响机械钻速实例分析

由式(25)可得，钻头转速、转速指数、钻头机械力、钻头各向异性指数、地层各向异性指数等参数的变化都对机械钻速有影响。钻头机械力、钻头各向异性指数和地层各向异性指数对机械钻速的影响在以前的三维钻速方程中已经分析过，这里仅分析钻头转速对机械钻速的影响规律。

由式(25)可知机械钻速是由钻头转速的幂函数参与组成的多项式，为了定量描述机械钻速随钻头转速的变化规律，选取实例如下：井斜角α=0°，地层倾角β=30°，井斜方位角和地层下倾方位角之差ΔΦ=30°。则地层坐标系与井底坐标系的变换矩阵D为：

其逆矩阵为：

为减少计算量，对矩阵F和F^-1进行简化。一般情况下，钻头转角小于0.4°可视为小量^[1]，则可以作如下近似处理：

其中

将式(28)带入式(14)，并忽略二阶小量，则钻头坐标系与井底坐标系的变换矩阵F为：

其逆矩阵为：

取钻头转角θ_x=0.003 rad,θ_y=0.005 rad，则矩阵F为：

其逆矩阵为：

一般而言，钻头的轴向切削能力高于侧向，沿着地层法线方向钻进要比沿着地层倾向或地层走向钻进容易，所以：0＜I_r1,I_r2＜1；0＜I_b＜1，λ₃＞λ₁，λ₃＞λ₂，λ₅＞λ₄，并且0＜λ₁,λ₂,λ₃,λ₄,λ₅＜1。取λ₁=0.60,λ₂=0.65，λ₃=0.80，λ₄=0.70，λ₅=0.80，I_r1=0.70,I_r2=0.75，I_b=0.50，D_n=0.01，F_xd=F_yd=F_zd=100 kN，将以上数据及式(26)、(27)、(32)和(33)代入式(25)中，计算当钻头转速从40 r/min增至180 r/min时机械钻速的变化规律，结果如图 6所示。

从图 6可以看出，随着钻头转速从40 r/min增至180 r/min，井底平面X_d方向的机械钻速从2.3 m/h提高至6.1 m/h，井底平面Y_d方向的机械钻速从4.2 m/h提高至12.5 m/h，井底法向Z_d方向的机械钻速从8.4 m/h提高至23.4 m/h。通过实例分析可知：井底3个方向的机械钻速随钻头转速增加而提高的幅度并不相同，井底法向Z_d方向机械钻速的提高幅度要大于井底X_d和Y_d方向机械钻速的提高幅度。

4 结论与认识

1) 建立的新三维钻速方程考虑了钻头转速对机械钻速的影响，这样更符合现场实际情况。对钻头和地层的各向异性指数重新进行了定义，考虑钻头转速因素，避免了因钻头转速改变而导致测出的各向异性指数不同。

2 ) 井底3个方向的机械钻速随钻头转速增加而提高的幅度并不相同，井底法向Z_d方向机械钻速的提高幅度要大于井底X_d和Y_d方向机械钻速的提高幅度。

3) 新三维钻速方程与BHA力学分析相结合，作为正演模型可以预测钻头转速变化对机械钻速和井眼轨迹的影响，进一步可以通过调节钻头转速、钻头机械力、钻头各向异性指数等参数来控制井眼轨迹；作为反演模型可以进行钻头和地层各向异性参数反演。