页岩气储层初始渗透率低，采用水平井和水力压裂技术才能使页岩气井达到经济产气量^[1]。压裂裂缝导流能力是影响页岩气井产能的关键因素，许多学者开展了实验研究。金智荣等人^[2-3]通过实验研究了支撑剂强度、粒径和支撑剂嵌入等多种因素对支撑裂缝导流能力的影响。毕文韬等人^[4]研究了地应力波动对支撑裂缝导流能力的影响。蒋建方等人^[5]进行了气测支撑裂缝导流能力实验研究。Wen Qingzhi等人^[6]研究了支撑剂嵌入对支撑裂缝导流能力的影响，指出嵌入作用在有效应力超过临界值后会对裂缝导流能力产生较大影响。刘岩等人^[7]通过实验研究了煤层气井压裂过程中支撑剂嵌入作用下煤岩的导流能力。

在模型研究方面，S.Kassis等人^[8]指出压裂裂缝渗透率变化受压实与嵌入双重作用时不遵从Walsh提出的三次方模型。Chen Dong等人^[9-10]基于Kozeny定律，推导了压实作用下孔隙介质渗透率模型^[9], 并在此基础上建立了考虑压实与嵌入双重作用的压裂裂缝渗透率模型，用于描述储层体积压裂(stimulated reservoir volume，SRV)条件下压裂裂缝渗透率的变化规律。

在建立页岩气耦合渗流模型时，有时会利用离散裂缝网络(discrete fracture network，DFN)构建离散化的压裂裂缝^[11]，因此需要建立该条件下的压裂裂缝导流能力模型。笔者建立了考虑压实与嵌入双重作用下的压裂裂缝导流能力模型，并利用实验数据对模型进行了验证，以期为预测压裂裂缝导流能力提供理论依据。

1 压裂裂缝导流能力模型的建立

压裂施工在储层中压出许多裂缝后，将支撑剂(如石英砂或陶粒等)充填进裂缝，以提高油气层的渗透能力。压裂裂缝导流能力不仅受支撑剂和裂缝自身特性的影响，还受支撑剂与裂缝面接触特性的影响^[12-13]，其主要影响因素有：1)压裂裂缝的分布规律，如裂缝密度、连通度和迂曲度等；2)支撑剂充填层的压实性；3)支撑剂的嵌入度。压裂完成后，在开采过程中裂缝分布基本保持不变，则因素1)对压裂裂缝导流能力长期变化影响不大。页岩气开采使孔隙压力下降，有效应力增加，支撑剂充填层被压密，支撑剂的嵌入度增加，故因素2)和因素3)影响压裂裂缝导流能力的长期变化。

1.1 只考虑压实作用时的压裂裂缝导流能力模型

只考虑压实作用时，支撑剂充填层的渗透率和平均孔隙体积压缩系数可表示为：

(1)

(2)

式中：K为支撑剂充填层渗透率，mD；K₀为支撑剂充填层初始渗透率，mD；C_p为支撑剂充填层孔隙体积压缩系数，MPa^-1；C_p0为支撑剂充填层初始孔隙体积压缩系数，MPa^-1；为支撑剂充填层平均孔隙体积压缩系数，MPa^-1；σ_e为有效应力，MPa；σ_e0为初始有效应力，MPa；α为支撑剂充填层孔隙体积压缩系数随有效应力增加的变化率。

假设裂缝初始宽度为常数，只考虑压实作用时压裂裂缝导流能力的变化可以表示为：

(3)

式中：θ_c为考虑压实作用与未考虑该动作时的裂缝导流能力比；C_c为考虑压实作用时的压裂裂缝导流能力，mD·cm；C₀为压裂裂缝初始导流能力，mD·cm；w₀为压裂裂缝初始宽度，cm。

1.2 只考虑嵌入作用时的压裂裂缝导流能力模型

用Oliver和Pharr的幂律模型^[14]来描述支撑剂在页岩中的嵌入量，嵌入作用使裂缝宽度减小，其表达式为：

(4)

式中：w为考虑嵌入作用时的压裂裂缝宽度，cm。

假设支撑剂充填层渗透率不变，只考虑嵌入作用时压裂裂缝导流能力的模型为：

(5)

式中：θ_e为考虑嵌入作用与未考虑该作用时的裂缝导流能力比；C_e为考虑嵌入作用时的压裂裂缝导流能力，mD·cm; η和λ为根据实验数据所得的嵌入作用拟合参数。

1.3 考虑压实与嵌入双重作用时的压裂裂缝导流能力模型

将前面的2个模型结合在一起，即可得到考虑压实与嵌入双重作用的压裂裂缝导流能力模型的表达式：

(6)

式中：θ为同时考虑压实与嵌入作用与未考虑时的裂缝导流能力比; C为同时考虑压实与嵌入作用时的压裂裂缝导流能力，mD·cm。

需要注意的是，压裂裂缝导流能力是渗透率与裂缝宽度的乘积。压实作用主要影响渗透率，嵌入作用主要影响裂缝宽度。在页岩气开采过程中，特别是在有效应力超过临界值以后，二者均为变量，均会对压裂裂缝导流能力产生影响。1.1节和1.2节分别假设裂缝宽度和渗透率不变，可以分别估算只考虑压实作用与只考虑嵌入作用时压裂裂缝导流能力的变化规律。实际应用时需根据具体情况选取模型：支撑剂单层铺设时，可以选式(3)进行计算；支撑剂多层铺设，有效应力小于临界值时，可以选式(5)计算；支撑剂多层铺设，有效应力大于临界值时，可以选式(6)计算。

2 压裂裂缝导流能力数据拟合分析

为了验证模型的正确性，获得合理的参数范围，收集整理了大量实验数据，主要分为2类：一类是刚性夹板条件下支撑剂充填层导流能力实验数据(如图 1(a)所示)；另外一类是岩石夹板条件下支撑剂充填层导流能力实验数据(如图 1(b)所示)。夹板为刚性时支撑剂嵌入量小，导流能力的变化主要受压实作用影响，可以用仅考虑压实作用时的压裂裂缝导流能力模型拟合数据；支撑剂在高围压时会嵌入岩石，使渗流空间减小，导流能力下降，导流能力变化受压实与嵌入双重作用影响，需要用考虑压实和嵌入双重作用时的压裂裂缝导流能力模型拟合数据。数据分析可借助Microsoft Excel Solver工具，利用最小二乘法进行拟合^[15-16]。

2.1 文献[17]数据拟合结果

朱文等人^[17]研究了支撑剂铺砂浓度与支撑裂缝导流能力的关系。实验过程中，支撑剂的铺砂浓度从2.5 kg/m²增至10.0 kg/m²，应力范围为10~80 MPa。由于该实验使用钢板夹持支撑剂，不用考虑嵌入作用对导流能力的影响，故利用只考虑压实作用时的压裂裂缝导流能力模型对实验数据进行拟合，结果如图 2、图 3所示。

从图 2和图 3可以看出，闭合压力由10 MPa增至80 MPa后，裂缝导流能力比降至0.1~0.4;铺砂浓度增大，可以减小压裂裂缝导流能力比的下降程度。分析认为，该模型可以较好地拟合实验数据，初始孔隙体积压缩系数随着铺砂浓度增大而逐渐减小。拟合得到的参数值见表 1。

2.2 文献[3]数据拟合结果

金智荣等人^[3]考虑支撑剂的铺砂浓度、支撑剂的嵌入、支撑剂粒径、粒径组合和地层微粒等因素，测试了钢板和岩板2种夹板条件下的支撑裂缝导流能力。

笔者利用金智荣等人^[3]岩板条件下的实验数据，采用考虑压实与嵌入双重作用时的压裂裂缝导流能力模型进行拟合，结果如图 4所示。由图 4可知，模型计算结果与实验数据拟合较好。闭合压力小于40 MPa时，只考虑压实作用时的导流能力模型与同时考虑压实与嵌入作用模型的计算结果基本相同；随着闭合压力继续增大，支撑剂开始嵌入岩石，考虑压实与嵌入作用与未考虑时的裂缝导流能力比开始明显低于只考虑压实作用模型的计算结果，闭合压力超过80 MPa时裂缝导流能力比小于0.2。

利用金智荣等人^[3]钢板条件下的实验数据，采用只考虑压实作用时的裂缝导流能力模型拟合，结果如图 4—图 8所示。图 7中的支撑剂体积比是30/60目、20/40目和18/30目支撑剂的体积之比。和2.1中的实验数据拟合结果对比发现，铺砂浓度对裂缝导流能力和初始孔隙体积压缩系数的影响规律类似。此外，支撑剂粒径不同，裂缝导流能力比值曲线的形态也有所不同。

拟合所得的参数值见表 2。其中，w₀为假设值(文献中并未明确给出裂缝宽度)。

2.3 文献[8]数据拟合结果

S.Kassis等人^[8]对压裂裂缝导流能力的影响因素进行了研究。实验采用Barnett页岩岩样，支撑剂采用40/70目渥太华砂和陶粒，有效应力为6~41 MPa，支撑剂分布分为单层砂和集中分布2种状态。在单层砂分布情况下，不会发生支撑剂的压实，只考虑单层支撑剂颗粒的嵌入作用，故本节用只考虑嵌入作用的模型对数据进行拟合；而对于支撑剂集中分布情况下，既有支撑剂的压实作用，也有嵌入作用，故采用考虑双重作用的导流能力模型进行拟合。对S. Kassis等人^[8]所得数据利用前文所得模型进行拟合，结果如图 9和图 10所示。

从图 9和图 10可以看出，模型对于支撑剂单层分布和集中分布的岩样实验数据都能较好地拟合，且不同岩样计算曲线的变化规律相同。

采用建立的模型对S.Kassis等人^[8]实验数据拟合所得的参数值见表 3。

支撑剂集中分布情况下，裂缝导流能力受到压实和嵌入双重作用的影响，选用考虑压实与嵌入双重作用的导流能力模型进行拟合，并与仅考虑压实作用的情况进行对比，结果见图 11。由图 11可知，在支撑剂嵌入条件下，支撑裂缝导流能力明显降低。即在低闭合压力条件下，可以忽略嵌入作用的影响；在高闭合压力条件下，不可忽略嵌入作用的影响。

2.4 文献[18]数据拟合结果

Suarez-Rivera等人^[18]研究了不同尺度岩样的水力裂缝导流能力的变化规律，研究发现，随着有效应力增大，大尺度岩样的裂缝导流能力下降较快，这可能与大尺度岩样裂缝具有较高迂曲度有关。为了简便，采用只考虑压实作用的裂缝导流能力模型对Suarez-Rivera等人^[18]的实验数据进行拟合，拟合结果如图 12所示。从图 12可以看出，闭合压力为5~30 MPa时，相同闭合压力下的大尺度岩样的裂缝导流能力小于小尺度岩样。

利用Suarez-Rivera等人^[18]实验数据拟合得到的参数值见表 4。

3 模型参数分布规律及影响因素讨论 3.1 支撑剂铺砂浓度与类型对模型参数的影响

统计分析发现，随着铺砂浓度增大，C_p0逐渐减小，α逐渐减小(如图 13所示)。这也与实际情况相符，随着铺砂浓度增加，充填层的抗压缩性更强，使支撑裂缝保持较高缝宽，支撑裂缝导流能力会随之升高。而且，2种类型的支撑剂相比，陶粒的C_p0值与α值均比石英砂的小，这也体现了陶粒的强度、抗压缩性比石英砂要强的特点，与实际相符，也说明拟合结果的合理性。然而，表 2数据也显示，随着铺砂浓度增加，C_p0逐渐增大，α逐渐增大(如图 13所示)。因该实验数据以及拟合数据仅有一组，拟合参数可能会受到实验条件、材料等其他因素的影响，故该结论仍需要进一步验证。

3.2 支撑剂嵌入对导流能力的影响

对比仅考虑压实作用模型、考虑压实与嵌入双重作用模型的拟合结果可以看出，支撑剂嵌入对裂缝导流能力的影响存在临界压力，当压力未超过临界压力时，嵌入作用不明显，2个模型的预测结果差别不大；当压力超过临界压力时，嵌入作用对裂缝导流能力产生的影响逐渐显著，2个模型的拟合结果也逐渐分离。图 4(a)中铺砂浓度为10.0 kg/m²时的临界压力约为47 MPa，图 4(b)中铺砂浓度为5.0 kg/m²时的临界压力约为20 MPa，表明临界压力随着支撑剂铺砂浓度的增大而增大，这也验证了Wen Qingzhi等人^[6]通过实验所得出的结论。除此之外，从图 11可以看出，对于有嵌入的情况，与无嵌入模型相比，修正后的嵌入模型能更准确地描述该条件下的实验结果。

3.3 模型适用性

用钢板模拟裂缝表面的实验不会发生支撑剂的嵌入，此时用仅考虑压实作用的导流能力模型便足以充分描述压裂支撑裂缝导流能力的变化；而对于用岩板模拟裂缝表面的实验，既有支撑剂的压实作用，也有嵌入作用，此时用考虑双重作用的导流能力模型可以更好地描述压裂支撑裂缝导流能力的变化。

对于支撑剂单层分布(单层砂)的情况，不会发生支撑剂的压实，故可以使用仅考虑嵌入作用的导流能力模型拟合实验数据；而对于支撑剂集中分布的情况，既有支撑剂的压实作用也有嵌入作用，故应采用考虑双重作用的导流能力模型进行拟合。

从图 8可以看出，粉陶实验结果与拟合结果相差较大，说明之前所提出的模型适用于支撑剂颗粒充填的情况，需研究适用于粉陶等过小粒径支撑剂的模型。

3.4 模型参数分布范围

所有数据拟合中C_p0和α的值的分布情况如图 14所示。从图 14可以看出，C_p0的值分布范围为-0.01~0.11 MPa^-1，而α的值分布在-0.11~0.11，但C_p0集中分布于-0.01~0.05 MPa^-1，而α集中分布在-0.05~0.03。

4 结论与建议

1) 通过理论推导揭示了压裂裂缝导流能力在压实与嵌入条件下时的变化规律，提出了同时考虑压实与嵌入作用时的压裂裂缝导流能力定量化解析计算方法，为裂缝导流能力实验数据的分析与对比提供了理论方法。该模型便于耦合到页岩气渗流模拟器中预测页岩气开采过程中压裂裂缝导流能力的动态变化规律，从而更好地预测页岩气长期产能。实验数据拟合分析所得的模型参数分布规律为页岩气藏数值模拟的参数选取提供了参考。

2) 模型可以较好地描述压实与嵌入作用下裂缝导流能力实验数据变化规律，支撑剂充填层初始孔隙体积压缩系数体现了支撑剂充填层孔隙的压缩性，其值越大，裂缝导流能力变化越大。随着支撑剂铺砂浓度增大，支撑剂充填层初始孔隙体积压缩系数普遍呈现出减小趋势，因此为了提高裂缝导流能力，应尽量提高支撑剂铺砂浓度。

3) 模型主要考虑了压实与嵌入两种作用对压裂裂缝导流能力的影响，未考虑支撑剂压碎、溶解等因素；随着闭合压力增大和水溶作用的影响，支撑剂的破碎和溶解将进一步降低裂缝宽度，导致裂缝导流能力下降，下一步将定量分析其影响。此外，还有待进一步研究压实与嵌入作用下压裂裂缝导流能力变化对于页岩气长期产能的影响。