页岩气资源丰富，全球资源量约为456.24×10¹² m^3[1]，中国页岩气的可采资源潜力约为25.08×10¹² m^3[2-3]，美国和中国均已实现了页岩气的商业开发^[4]。与常规气藏不同，气体在页岩储层中主要以游离气和吸附气存在，吸附气含量为20%~85%，一般在50%左右^[5]。页岩气是否具有商业开发价值在很大程度上取决于吸附气的产出量，因此确定生产过程中吸附气的产出贡献率对页岩气井开发具有重要作用。利用解吸罐现场解吸法^[6-7]、等温吸附实验法^[8-9]、测井解释法^[10]、核磁共振法^[11]和简化局部密度函数法^[12]可以实测或者计算出页岩的总含气量以及在特定温度和压力下的吸附气含量，但无法获得吸附气在不同生产时间下的产出情况。利用数值模拟方法^[13-15]虽然可以计算吸附气解吸量随生产时间的变化情况，但所需基础参数多且很多参数无法准确获取，且计算时间非常长，因此该方法应用难度较大，准确性较低。由于建立及求解模型困难，现有页岩气井产量预测解析模型要么不考虑吸附气的影响^[16]，要么不考虑多段压裂裂缝的影响^[17]，有时虽然同时考虑了吸附气和多段压裂的影响，但无法得到吸附气产出贡献率随生产时间的变化^{[9, 18-20]}。为此，笔者基于地层压力分布计算模型、吸附气产量计算模型和游离气计算模型，建立了确定多段压裂页岩气水平井吸附气产出贡献率的解析模型，并通过国内页岩气井进行了验证，结果与页岩气生产实践的认识高度吻合。

1 模型的建立 1.1 生产过程中吸附气的产量计算模型

页岩储层主要靠有机质和(或)黏土矿物吸附天然气，而大量研究表明，有机质和(或)黏土矿物对天然气的吸附属于单分子层的物理吸附^{[5, 21]}，因此通常用Langmuir等温吸附方程^[22]描述页岩中吸附气的体积:

(1)

式中:V_L为Langmuir吸附体积，m³/t；p_L为Langmuir吸附压力，MPa；p为储层压力，MPa；V_ad为页岩吸附气的体积，m³/t。

开井生产到t时刻时，页岩地层中剩余吸附气的体积为:

(2)

式中:x_e和y_e分别为地层的边界长度和宽度，m；p(x, y, t)为任意时刻地层任意位置处的压力，MPa；x，y分别为地层边界长度和宽度坐标, m；t为生产时间，h；h为地层厚度，m；ϕ_i为页岩地层原始孔隙度；ρ_m为页岩密度，kg/m³；Q_ad(t)为生产至t时刻时页岩地层中剩余吸附气的体积，m³。

假设解吸出的气体都被采出，则开井生产至t时刻时吸附气的产量为:

(3)

式中:q_ad(t)为生产至t时刻吸附气的产量，m³/h。

1.2 生产过程中游离气的产量计算模型

页岩气中的游离气分为地层中的游离气和人工裂缝中的游离气，单位质量页岩地层中游离气的体积为^[14]:

(4)

式中:V_m为单位质量页岩中游离气的体积，m³/t；ρ_gm为页岩地层中气体的密度，kg/m³；ρ_sc为标准状况下气体的密度，kg/m³；V_pm为单位质量页岩地层的有效孔隙体积，m³/t；S_wm为页岩地层中的含水饱和度；ρ_ad为吸附气的密度，kg/m³。

将式(2)代入式(4)可得到开井生产至t时刻时，页岩地层中游离气的体积为:

(5)

式中:Q_m为页岩地层中游离气的体积，m³；p_sc为标准状况下的压力，p_sc=0.101 325 MPa；T_sc为标准状况下的温度，T_sc=20 ℃；T为温度，℃；Z为气体偏差因子；ϕ为地层孔隙度。

单位质量页岩裂缝中游离气的体积为:

(6)

式中:V_f为单位质量页岩裂缝中游离气的体积，m³/t；ρ_gf为裂缝中气体的密度，kg/m³；V_pf为单位质量页岩中裂缝的体积，m³/t；S_wf为裂缝中的含水饱和度。

不考虑水平井筒中的压降且假定裂缝为无限导流裂缝时，由式(6)可得到生产至t时刻时裂缝中游离气的体积:

(7)

式中:Q_f(t)为生产至t时刻时页岩裂缝中游离气的体积，m³；p_wf为井底压力，MPa；w为裂缝宽度，m；x_fi为第i条裂缝的半长，m。

因此，开井生产至t时刻时，游离气的产量为:

(8)

式中:q_free(t)为生产至t时刻时游离气的产量，m³/h。

1.3 生产过程中吸附气的产出比例计算模型

开井生产至t时刻时，总产气量为:

(9)

产气量中吸附气的产出比例为:

(10)

式中:q(t)为生产至t时刻时页岩气井的总产气量，m³/h。

1.4 生产过程中地层压力的分布计算模型

式(2)和式(5)都是以地层压力分布的计算为前提。地层压力分布采用如下方法计算。

1.4.1 基本假设

1) 假设在完全封闭的矩形地层中心有一口多段压裂水平井；

2) 孔隙度和渗透率随着压力变化；

3) 每条裂缝半长可以不相等，裂缝位置任意，裂缝具有无限导流能力；

4) 裂缝的高度等于储层有效厚度；

5) 忽略重力的影响。

1.4.2 标准压力的定义

页岩气开采过程中，随着地层压力降低，岩石骨架受到的有效应力增大，导致储层渗透率、孔隙降低，这种现象称为页岩的应力敏感效应。考虑应力敏感效应，定义了标准压力:

(11)

式中:m为标准压力，MPa；K_i为页岩储层基质的原始渗透率，D；K为页岩储层基质的渗透率，D；Z_i为原始状态下气体的偏差因子；μ_i为原始状态下气体的黏度，mPa·s；μ为气体的黏度，mPa·s。

诸多学者进行了应力敏感效应研究，形成了表示应力敏感的3种基本表征形式:Palmer-Mansoori关系式^[23]、指数关系式^{[15, 24, 25]}和考虑分子流动的关系式^[26]。对考虑分子流动的关系式进行修正又形成了非常多的修正关系式^[27]。由于考虑分子流动的关系式需要很多分子流动尺度上的参数，而这些参数通常难以获取，因此不建议采用该关系式。指数关系式需要进行物理模拟试验确定压力变化系数，获取较难。Palmer-Mansoori关系式需要页岩的杨氏模量和泊松比，而杨氏模量和泊松比可通过岩石力学试验获得，即便不进行岩石力学试验也可根据岩石类型得到两者的取值范围。同时，当弹性变形作用远大于吸附作用时，Palmer-Mansoori关系式可化简为指数关系式，方便实际应用，因此建议选用Palmer-Mansoori关系式。Palmer-Mansoori关系式为:

(12)

(13)

式中:E为杨氏模量，MPa；ν为泊松比。

指数关系式为:

(14)

标准压力的无因次形式为:

(15)

式中:m_D为无因次标准压力；m_i为原始地层压力对应的标准压力，MPa；m(r, t)为在页岩储层中t时刻r位置处的标准压力，MPa；B_i表示原始体积系数，m³/m³。

1.4.3 模型的建立及求解

在Laplace空间下，建立了考虑扩散和吸附效应的多段压裂页岩气水平井流动方程^[28]:

(16)

其中

(17)

(18)

(19)

式中:m_D为Laplace空间下的无因次标准压力；x_D为无因次x轴坐标位置；y_D为无因次y轴坐标位置；x为横轴坐标位置，m；y为纵轴坐标位置，m；s为Laplace算子；ω为储容比，；λ为窜流系数，λ=；β为吸附系数，；m_L为Langmuir吸附标准压力，MPa；m_i为原始状态下的标准压力，MPa；α为综合储容系数，α=，h；C_gi为原始等温压缩系数，MPa^-1；q_i为页岩气井初始产气量，m³/h；τ为页岩气的吸附时间，，h；R为气体扩散的外半径，m；D为气体扩散系数，m²/h；L为裂缝半长总和，L=。

考虑井筒存储和表皮的内边界条件为:

(20)

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

式中:q_Dj为Laplace空间下第j条裂缝的无因次产量；q_j为第j条裂缝的产量，m³/d；C_D为无因次井筒存储常数；C为井筒存储常数，m³/MPa；C_t为综合压缩系数，MPa^-1；m_wfDi为Laplace空间下考虑表皮效应时在第i条裂缝处的无因次井筒压力；m_Dij表示Laplace空间下由于第j条裂缝的生产对第i条裂缝造成的无因次标准压力；S_kin为表皮系数；S_xD为x方向的无因次Green函数；S_yD为y方向的无因次Green函数；t_D为无因次时间；x_eD为x轴方向的无因次边界；y_eD为y轴方向的无因次边界；x_wDi和x_wDj为第i，j条裂缝在x轴上的无因次坐标位置；y_wDi和y_wDj为第i，j条裂缝在y轴上的无因次坐标位置。

忽略水平井筒里的压降，则所有裂缝处的水平井筒里的压力m_wfDi相等，用m_wfD表示。联立式(16)、式(20)和式(21)可以建立矩阵方程:

(28)

求解式(28)可以得到q_Dj和m_wfD，因此Laplace空间无因次标准压力为:

(29)

其中

(30)

(31)

通过Stehfest变换^[29]可得到真实空间下的无因次标准压力:

(32)

其中

(33)

根据式(11)、式(15)和式(32)，可以计算出地层压力分布情况。

2 计算与分析 2.1 基础参数

以国内某口多段压裂的页岩气水平井为例进行计算分析。由于未取得指数式应力敏感试验数据，因而选用Palmer-Mansoori关系式表征应力敏感效应。该井的原始地层压力为34.5 MPa，地层有效厚度为38.00 m，地层温度为81 ℃，平均孔隙度为4.8%，Langmuir吸附体积为2.98 m³/t，Langmuir吸附压力为6.0 MPa，岩石密度为2.65×10³ kg/m³，杨氏模量为29.4 GPa，泊松比为0.237，储层边界为1 200 m×600 m，水平段长度为1 008.00 m，有效裂缝有7条，裂缝半长为90.00 m，气体相对密度为0.56。该井从开始生产至生产25 000 h时的产气量和井底压力如图 1所示。从图 1可以看出，该井产气量基本稳定在6.0×10⁴ m³/d，而井底压力不断下降，由32 MPa降至12 MPa。

2.2 地层压力分布计算

利用式(11)、式(14)和式(28)计算生产8 000和17 000 h后的地层压力分布，结果见图 2和图 3。从图 2和图 3可以看出:生产8 000 h后，地层压降漏斗主要环绕裂缝附近，而外部区域尚未动用；生产17 000 h时后，压降漏斗已波及到该井的储层边界，可能会与邻井发生干扰^[30]。

2.3 游离气和吸附气储量变化分析

图 4所示为计算出的不同生产时间下该井游离气和吸附气的储量。从图 4可以看出，该井游离气原始储量约为3.0×10⁸ m³，吸附气原始储量约为1.3×10⁸ m³，吸附气原始储量约为总储量的30%，说明吸附气的储量是非常可观的。同时也可以看出，游离气储量随生产时间增长比吸附气储量下降得更快。

2.4 游离气和吸附气产出贡献分析

图 5所示为计算出的不同生产时间下游离气和吸附气的产出量。根据图 5求出吸附气产出量对产气量的贡献率，结果见图 6。从图 6可以看出，随生产时间增长，吸附气产出量对产气量的贡献率逐渐上升，生产至25 000 h时，吸附气产出量对产气量的贡献率由9.0%升至10.5%，增加幅度很小。主要原因是井底压力远大于Langmuir吸附压力，吸附气的解吸不明显。因此，该页岩气藏虽然吸附气储量可观，但其对页岩气产量的贡献有限，且采出程度很低，这也与气田现场生产的认识吻合^{[8, 31]}。

3 结论与建议

1) 考虑应力敏感、扩散和吸附等因素，建立了确定多段压裂页岩气水平井生产过程中吸附气产出量对产气量贡献率的模型。该模型以地层压力分布为基础，可分别计算生产过程中吸附气和游离气产出量的变化。

2) 国内页岩气井验证了模型的实用性。对于实例井，吸附气原始储量约为总储量的30%，但由于Langmuir吸附压力远低于目前的井底压力，吸附气解吸不明显，生产至25 000 h时，吸附气产出量对产气量的贡献率只是由开始生产的9.0%上升到了10.5%。

3) 建立模型时假设页岩气的吸附满足Langmuir吸附，因此模型计算的可靠性在很大程度上依赖于页岩气等温吸附参数(Langmuir吸附体积和吸附压力)，故保证等温吸附试验的准确性至关重要。对于不满足Langmuir吸附的页岩气藏，需要对模型进行修正。

4) 应探索区分产出吸附气和游离气的实测方法(如碳同位素测试)，以方便利用实测数据来验证模型，并对模型进行完善。