起下钻、下套管、注水泥等工艺流程引起的压力波动以及相关井控问题，时刻威胁着钻井施工安全。特别是随着石油勘探的不断发展，小井眼钻井、套管钻井^[1]及精细控压钻井等对起下钻过程中的井筒压力计算精度要求越来越高^[2]，传统的井筒波动压力计算模型已经无法满足精确计算的要求。国内外许多学者对井筒波动压力进行了研究分析^[3-6]，分别从模型理论到实验分析对波动压力进行了讨论^[7-10]，但研究成果或者过于偏向工程应用缺乏理论支撑，或者只注重纯理论分析而忽略其应用效果，将两者很好地结合起来的研究相对较少^[11-12]。此外，大多数波动压力计算模型在求解时均进行了大量假设简化处理^{[3, 13-15]}，影响了最终计算结果的精度。因此，笔者以槽流模型为基础，根据起下钻过程中井筒环空流体的实际流动规律，建立了稳态条件下井筒波动压力计算模型，并给出了一种较为精确的数值求解方法。

1 环空中波动压力计算模型

在起下钻过程中，若井筒内流体为含屈服值的非牛顿流体，则在层流状态下存在流速核区域，流速核内流体的流速相等^[11-13]。如图 1所示，假设钻柱向上运动：1)靠近井壁(0≤l＜l₁)的流体向下运动，流速沿井筒径向逐渐增大，该部分流体受到井壁的剪切应力、流体重力作用，处于速度剪切区域；2)处于环空中间部分(l₁≤l＜l₂)的流体向下运动，该部分为流核区，流体具有相同流速；3)靠近运动钻柱(l₂≤l≤H，其中H=R_o-R_po，H为环空间隙，R_o为井眼半径，R_po为钻柱外径)的流体，一部分随钻柱向上运动，另一部分向下运动，该区域的流体均处于速度剪切区域。

模型假设条件为：1)不考虑钻柱旋转的影响；2)将井筒环空等效为宽W厚H的槽流模型，其中W=π(R_o+R_po)；3)不考虑井壁的不规则性；4)流体流变性符合赫-巴模式(含屈服值)；5)钻柱底端与井眼环空底部相连通(底部开口管)。

1.1 第一速度剪切区

当0≤l≤l₁时，称为I区域，随着半径增大，流体剪切应力减小，此时有：

(1)

式中：τ_w,a为管壁处的剪切应力，Pa；Δp_s为波动压力，MPa；L为井深，m；l为井壁距井眼中心的距离，m；τ₁为Ⅰ区域的剪切应力，Pa。

在I区域，若将式(1)与赫-巴流体流变方程τ=联立，并考虑边界条件和，积分化简可得：

(2)

式中：K为流体稠度系数，Pa·sⁿ；n为流性指数；v₁为Ⅰ区域流体的流速，m/s。

1.2 第二速度剪切区

当l₂≤l≤H时，称为Ⅲ区域，随着半径增大，流体所受切应力逐渐增大，此时有：

(3)

在Ⅲ区域，联立式(3)与赫-巴流体流变方程，并结合边界条件，积分整理可得：

(4)

式中：v_p为钻柱的运动速度，m/s；v₃为Ⅲ区域的流体流速，m/s。

1.3 流核区域

当l₁≤l＜l₂时，为Ⅱ区域，该部分为流核区域，流体流速均相等，即。根据流体受力平衡，Δp_s(l₂-l₁)W=2τ₀WL，可得：

(5)

若令，则式(2)、(4)可简化为：

(6)

(7)

令c=l₂-l₁，则由(5)可变为：

(8)

在Ⅱ区域内流体流速相等，故：

(9)

式中：v₂为Ⅱ区域的流体流速,m/s。

联立式(6)、式(7)和式(9)，可得：

(10)

1.4 环空总流量

结合环空各区域的流动情况，对式(2)、(4)和(9)积分，整理可得环空总流量：

(11)

式中：q_a为环空流量，m³/s。

由井筒内流体运动的连续性可知，钻柱与环空中的流体对井底产生的波动压力相等。若将式(10)两边同时乘以(H-c-l₁)，则式(11)可简化为：

(12)

2 钻柱内波动压力计算模型

钻柱向上运动过程中，钻柱内流体会填充钻柱运动后的空余空间，整体向下流动(见图 1)。假设钻柱内流体向下流动的平均速度为v_i，钻柱向上运动的平均速度为v_p，则管内流体相对于钻柱运动的速度为v_p+v_i。A.T.Bourgoyne Jr.等人^[5]和S.A.Bernt等人^[14]研究指出，在相对速度相同条件下，圆管轴向运动时钻柱内流体的速度剖面与泵驱动流体运动时圆管内的速度剖面是相同的。基于R.O.Herzog等人^[15]的推导过程，结合赫-巴模式的本构方程，可得钻柱内的流量方程为^[16]：

(13)

式中：q为流体相对运动钻柱的体积流量，m³/s;τ_w,p为环空管壁内切应力，Pa；D_pi为钻柱内径，m。

若令钻柱运动引起的井筒中总流量为q_net，根据上述假设，则有：

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：q_p为钻柱内实际流量，m³/s；q_net为钻柱运动引起的总流量，m³/s。

而圆管内产生的压力梯度为：

(18)

3 模型的求解

层流状态下，赫-巴流体在圆管、环空中的雷诺数可分别表述为^[17]：

(19)

(20)

式中：Re_p，Re_a分别为钻柱、环空中流体的雷诺数；D_h为井径，m；D_po为钻柱外径，m；v_pf为钻柱与钻柱内流体平均速度的相对值，m/s；v_af为钻柱与环空中流体平均速度的相对值，m/s。

根据广义流性指数对流态的判别标准^[18-19]，可得：

(21)

其中

(22)

式中：Re_c为临界雷诺数。

若判定为紊流(Re>Re_c)状态时，则采用T.D.Reed等人^[19]给出的粗糙管紊流经验公式：

(23)

因此，紊流条件下井筒中的波动压力计算公式可表述为：

(24)

(25)

式中：f为范宁阻力系数。

由上述推导过程可知，该波动压力计算模型(简称新模型)无法给出显式的解析解方程。因此，采用逆序假设的数值求解思路进行分析，其具体求解过程如图 2所示。其中，关键参数管壁处剪切应力τ_w,p采用黄金分割法迭代求解，环空流道参数l₁采用二分法迭代求解。

4 实例计算

根据现场生产数据，分析某井钻柱上提过程中产生的波动压力。所需基本参数如下：钻柱外径D_po=0.127 m，钻柱内径D_pi=0.108 m，井眼直径D_h=0.216 m，井深L=1 000 m。赫-巴流体流变性参数：屈服值τ₀=2.85 Pa，稠度系数K=0.372 5 Pa·sⁿ，流性指数n=0.685 7。根据波动压力计算流程，基于上述波动压力计算模型，可分别得到井筒波动压力与钻柱运动速度的关系(见图 3)；钻柱体积流量(系统流量)、钻柱内和环空中流体流量与钻柱运动速度的关系(见图 4)。

由图 3可以看出，钻柱速度从0.2 m/s增大到0.6 m/s的过程中，井筒波动压力由0.21 MPa增加到0.27 MPa。由图 4可以看出，钻柱上提过程中的环空流体整体表现为向上运动，且随着钻柱运动速度的增加，环空中流体向上运动的流量亦增加；而钻柱内的流体恰恰相反，其流动方向与钻柱运动相反，且随着钻柱运动速度的增加，钻柱内流体向下运动的流量也增加。整体来看，钻柱上提过程中，井筒中为正循环的流场。

在v_p=0.4 m/s、其他参数不变的情况下，井筒中各区域的流量随环空内外径之比Φ(Φ=D_po/D_h)的变化关系如图 5所示。

由图 5可知，当钻柱运动速度不变时，钻柱内流量随着Φ的减小而减小，且钻柱内流体始终沿钻柱反方向流动；而环空流量随Φ的减小先小幅度增加，继而突然减小并趋近于0，最后向钻柱运动的反方向小幅度缓慢增加。

图 5中钻柱内/环空中流量在Φ的变化过程中之所以会产生突变，主要原因是流体流态发生了变化。当0.73<Φ<0.75时(中等环空间隙)，该区域为不稳定流动区域，随Φ的增大，一方面环空间隙不断被压缩，另一方面钻柱运动引起的系统流量也不断增加，导致环空中流体的流态由层流向紊流发生转变，因而环空流体流速明显增加，由于井筒流体流动的连续性，导致钻柱内流体的流量也增加，故而波动压力突增；当Φ为0.53~0.73或0.75~0.90时，随着Φ增大，虽然钻柱内、环空中流体的流量均增加，但流体的流态并没有发生改变，故而波动压力平稳增加(见图 6)。

采用3种不同屈服值的钻井液，分析各屈服值条件下井筒波动压力与钻柱运动速度的关系(取Φ=0.588)，计算结果如图 7所示。

由图 7可知：1)在低、中、高3种屈服值状态下，井筒波动压力均随着钻柱运动速度的增加而增加；2)钻柱运动速度相同时，较高屈服值条件下对应的波动压力也较大；3)随着钻井流体屈服值的逐渐增大，钻柱的运动速度对波动压力的影响很小。

为了进一步验证新模型的适用性与准确性，采用文献^[2]中的实验数据对该模型进行计算验证。文献^[2]中Burkhardt模型选用宾汉流体计算，其屈服值为3.830 4 Pa，塑性黏度为0.12 Pa·s，实验测量点分布在长度为609.60 m的管柱上。为了便于直观分析结果，对管柱运动时产生的波动压力梯度进行计算分析，其计算结果如图 8所示。由图 8可知，相比Burkhardt模型，波动压力计算新模型与实测值更加接近，不论是在层流条件还是在紊流条件下都与实测值吻合得很好。2种模型与实测值之间的计算误差如图 9所示，新模型与文献实际测量值之间的误差很小，基本都小于5%，而Burkhardt模型的计算误差多数大于8%。新模型误差较小的主要原因为：模型推导过程未作简化处理，采用高精度的数值解法，使用与流体流变性相符合的流变模式进行分析。

5 结论

1) 以槽流模型为基础，根据起下钻过程中井筒的真实流动情况，采用通用流量计算方法，建立了稳态波动压力计算模型，并采用数值解法求解，提高了模型计算结果的精度。

2) 与前人波动压力的计算方法相比，新模型在计算井筒流量的过程中未作简化处理，井筒流体流动规律更加符合真实情况；由于采用迭代求解的数值解法，导致新模型的求解过程相对复杂。

3) 井筒波动压力随着钻柱运动速度的增加而增加，随钻柱运动速度增加环空近管壁处剪切区的厚度增加，而流核区厚度减小。此外，在其他条件不变时，随着环空内外径之比增大，井筒波动压力也逐渐增大。

4) 采用文献数据对提出的波动压力计算模型进行了验证，结果表明：波动压力计算新模型的计算结果与实测值具有较高的吻合度，研究结果对于后续波动压力的研究具有一定的指导作用。