水平井多级压裂能增加泄油气面积、提高储层动用程度和单井产量，是低渗透致密砂岩气藏开发的核心技术之一^{[1,2,3,4,5,6,7,8,9]}。致密砂岩油气藏中常发育有天然裂缝，在压裂过程中，天然裂缝在压裂压力作用下开启，使水力裂缝转向，形成复杂裂缝^[10,11,12]。复杂裂缝的形成与地应力状态、压裂过程中的诱导应力和压裂压力有关^[13,14]。 T.L.Blanton等人^[15,16,17]研究了天然裂缝的受力状态和破坏方式，考虑天然裂缝走向和倾角对水力裂缝开启的影响，建立了水力裂缝起裂压力计算模型；邵尚奇等人^[18]研究了天然裂缝对水力裂缝走向的影响；L.J.L.Beugelsdijk等人^[19,20,21]通过物理模拟，得到了天然裂缝对水力裂缝扩展及裂缝形态的影响。但以上研究都没有考虑多级压裂过程诱导应力对天然裂缝开启的影响。

水平井多级压裂时，由于先压开裂缝诱导应力的作用，后压裂区域的地应力状态发生改变，对天然裂缝的开启产生影响。笔者建立了考虑诱导应力的地应力分布计算模型和天然裂缝发生张性破坏和剪切破坏开启的判别模型，明确了诱导应力对地应力的影响规律，得到天然裂缝的开启规律，为合理设计压裂压力、提高压裂效果提供了理论依据。

1 压裂水平井井壁围岩应力分布

压裂过程中，井眼附近出现应力集中现象，在原始地应力、井眼内压力作用下的井壁应力表达式为^[22]：

式中：R为井眼半径，m；r为井眼围岩任意点离开井轴中心的距离，m；θ为井眼围岩任意点与井眼中心连线偏离垂直方向的夹角，(°)；p_w为井眼内液柱压力，MPa；ν为井壁岩石泊松比；σ_r0,σ_θ0，σ_z0，τ_rθ0,τ_θz0和τ_zr0为柱坐标系下井筒周围地应力分量，MPa；σ_xx,σ_yy，σ_zz，τ_xy，τ_yz和τ_zx为地应力转换分量，可以根据水平主应力 σ_H和σ_h，垂向地应力σ_v及井筒方位角等参数的转换计算得到，MPa。

2 压裂储层应力分布 2.1 压裂过程诱导应力分析

压裂时，近井地带水力裂缝的扩展对附近地层产生诱导应力作用，根据弹塑性力学理论，假设地层岩石为均质、各向同性材料，以二维平面应变模型为基础，建立几何模型(见图 1)，设第n条裂缝半缝高为h_n。定义拉应力为正，压应力为负。

第n条水力裂缝在zy平面内裂缝周围质点(z,y)处产生的诱导应力为：

式中：σ_axn,σ_ayn和σ_azn为先压开第n条裂缝产生的诱导应力正应力分量，MPa；τ_azyn先压开第n条裂缝产生的诱导应力剪切应力分量，MPa；p_n为第n条裂缝内的流体净压力，MPa；r_n，r_n1和r_n2分别为垂直裂缝中部、顶端和底端到质点的距离，m；θ_n，θ_n1和θ_n2分别为垂直裂缝中部、顶端和底端到质点的直线与裂缝面的夹角，(°)。

式(2)中,各几何参数间存在以下关系：

式中：d₁为第一条裂缝与y轴的距离，m；d_i为第i(i=2，3，…，n)条裂缝与i-1条裂缝的距离，m。

根据弹性力学叠加原理，全部n条先压裂缝在质点(z,y)处产生的总诱导应力可表示为：

式中：σ_ax、σ_ay和σ_az为先压全部n条裂缝产生的总诱导应力正应力分量，MPa；τ_azy为先压全部n条裂缝产生的总诱导应力剪切应力分量，MPa。

2.2 压裂过程地应力计算

压裂过程中，由于压裂液和先压裂缝诱导应力的作用，地层的地应力状态发生改变，地层应力场是在原始地应力、井筒围岩应力和裂缝诱导应力共同作用下形成的，根据弹性力学叠加原理，在以水平井井筒方向为z轴的极坐标系中，该地应力可以表示为：

式中：σ_r,σ_θ,σ_z,τ_rθ,τ_θz和τ_zr为考虑诱导应力的地应力分量，MPa。

根据式(5)，可以计算出压裂过程中受压裂液和先压裂缝诱导应力影响的地应力分布情况。

2.3 诱导应力对地应力影响分析

黑185井是吉林油田某区块的一口多级压裂水平井，共压裂7段，该区块的地应力、岩石力学参数和该井的参数如下：最大水平主应力σ_H=39.43 MPa，最小水平主应力σ_h=26.16 MPa，垂向地应力σ_v=31.5 MPa，井眼半径R=0.113 35 m，压裂时井内液柱压力p_w=42.60 MPa，地层岩石泊松比ν=0.24，井斜角α=90°，方位角Φ=188.54°，裂缝半缝高h_n=30 m，裂缝内的流体净压力p_n=4.25 MPa。将基础数据代入模型中，可以求出压裂第7段时，考虑诱导应力和不考虑诱导应力的地应力分布情况(见图 2—图 4)。其中，不考虑诱导应力影响时，图 4中的剪切应力应为0 MPa。

由图 2—图 4可以看出:考虑诱导应力与不考虑诱导应力时井壁径向应力、周向应力和轴向应力都呈正弦(或余弦)规律变化。考虑诱导应力时径向应力最大值增大了0.3 MPa，最小值增大了-0.4 MPa；周向应力最大值增大了0.29 MPa，最小值增大了-0.46 MPa；轴向应力最大值增大了1.71 MPa，最小 值增大了1.60 MPa；θz方向剪应力增大了0.14 MPa；zr方向剪应力增大了0.36 MPa。以上分析表明，诱导应力对周向应力和径向应力的影响较小，对轴向应力和剪切应力的影响较大，在分析天然裂缝开启规律时要考虑诱导应力对地应力的影响。

3 天然裂缝开启规律研究 3.1 天然裂缝受力状态分析

图 5表示了井筒附近天然裂缝分布情况。

为了分析天然裂缝的受力情况，首先建立空间坐标系(见图 5)，在大地坐标系(N，E，D)中，天然裂缝走向为北偏东N_e，天然裂缝倾角为D_ip。在大地坐标系下天然裂缝的法向矢量为：

式中：n_lf为天然裂缝的法向矢量。

在水力裂缝与天然裂缝交点处，地应力分量分 别为σ_r，σ_θ，σ_z，τ_rθ，τ_θz和τ_zr。根据弹塑性力学理论，可以计算出该应力条件下的3个应力不变量为：

式中：I₁,I₂和I₃分别为第一、第二和第三应力不变量。

根据式(7)求得第一、第二和第三应力不变量后，将各应力不变量代入式(8)，可求得相应主应力σ₁，σ₂和σ₃的大小。

相应各主应力的方向，可以通过下式求得：

式中：l_i1，l_i2和l_i3分别为第一、第二和第三主应力的方向余弦。

在式(9)中分别代入主应力，可计算出各主应力的方向余弦l_i1、l_i2和l_i3。所以，各主应力与裂缝面法线夹角的余弦为：

其中

式中：β_i为第i主应力与裂缝面的夹角，(°);n_i为第i主应力的方向失量。

天然裂缝与水力裂缝交点处裂缝受到的正应力为：

式中：σ_ln为水力裂缝与天然裂缝交点处天然裂缝承受的正应力，MPa。

3.2 天然裂缝开启的力学条件

水力裂缝与天然裂缝相交后，天然裂缝在流体压力作用下发生张性或剪切破坏而延伸，形成复杂裂缝，下面从天然裂缝的张性破坏和剪切破坏2方面进行力学分析。

3.2.1 天然裂缝张性开启力学条件

水力裂缝与天然裂缝交点处水力裂缝内流体压力达到或大于作用于天然裂缝面的有效应力，使天然裂缝发生张性断裂，天然裂缝张性开启，其力学条件为：

式中：p_f为水力裂缝与天然裂缝交点处水力裂缝内流体压力，MPa；α为孔隙压力系数；p_p为孔隙压力，MPa。

3.2.2 天然裂缝剪切破坏力学条件

相对于地层岩石，天然裂缝可以看成是力学性质薄弱的结构弱面，因此，当作用于天然裂缝的剪切应力大于裂缝本身的抗剪切强度时，天然裂缝发生剪切破坏，其力学条件为：

式中：τ_m0为天然裂缝内岩石粘聚力，MPa；μ_m为天然裂缝的内摩擦系数。

通过上述天然裂缝张性开启和剪切破坏的力学条件，即可判断和确定水平井多级压裂过程天然裂缝是否开启并形成复杂裂缝。

4 现场应用与计算结果分析

黑185井所在区块储层平均孔隙度15.78%、渗透率27.1 mD，裂缝发育，属于致密砂岩油藏。该井采用双封拖动多级压裂工艺，共压裂7段。根据地质资料及取心岩样观察，天然裂缝的倾角为80°～120°，走向北偏东30°～65°。天然裂缝内岩石粘聚力τ_m0=11.7 MPa，天然裂缝的内摩擦系数μ_m=0.24。根据所建立的模型计算该区块的裂缝开启情况，其他计算参数与2.3中的参数一致，计算结果如图 6和图 7所示。

由图 6可以看出，考虑诱导应力影响和不考虑诱导应力影响时，天然裂缝内岩石所受的剪应力小于岩石的抗剪强度，在该地应力条件下，天然裂缝不会发生剪切破坏而开启，应考虑天然裂缝发生张性破坏开启。

从图 7可以看出，考虑诱导应力影响的天然裂缝岩石所受的有效应力要大于不考虑诱导应力影响 时岩石所受的有效应力。有效应力在与竖直方向夹 角为45°时取得最小值，考虑诱导应力影响的有效应力最小值为29.27 MPa；不考虑诱导应力影响的有效应力最小值为26.31 MPa。根据压裂设计方案，该段设计压裂压力为26.54MPa，实际施工时地面泵压是27.68 MPa，施工泵压高于设计压力。压裂时的微地震监测结果如图 8所示，由图 8可以看出，该段压裂时产生的是单一裂缝，天然裂缝没有开启形成复杂裂缝。根据计算结果，需要将地面泵压提高至29.27 MPa，才能使天然裂缝开启，产生复杂裂缝。

诱导应力和天然裂缝开启所需地面泵压之间的关系曲线如图 9所示。

从图 9可以看出，随着诱导应力的增大，天然裂缝开启所需的地面泵压增大，二者呈线性关系，直线的斜率为1.18，即多级压裂过程中产生1.00 MPa的诱导应力，天然裂缝开启变得困难，为了使天然裂缝开启，需要将地面泵压至少提高1.18 MPa。进行压裂设计时，为了形成复杂裂缝，应考虑诱导应力的影响。

5 结 论

1) 多级压裂诱导应力对天然裂缝开启有重要影响，诱导应力对周向应力和径向应力的影响较小，对沿井筒方向的应力和剪切应力的影响较大，诱导应力使沿井筒方向的应力大幅增大。

2 ) 通过分析天然裂缝受力状态，建立了考虑诱导应力影响的天然裂缝发生张性破坏和剪切破坏开启的力学模型。

3) 诱导应力使天然裂缝开启变得困难，诱导应力增大，天然裂缝开启所需的地面泵压线性增大。如何计算不同地应力下考虑诱导应力时天然裂缝开启所需提高的地面泵压，是今后的研究重点。